Minimale Entfernung des Graphen vom Ursprung bestimmen (Extremwertaufgabe)

Question

ich hab mal wieder etwas schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x² - 3x + 3. Bestimmen Sie den Punkt des Graphen, der vom Ursprung minimale Entfernung hat.

Ich hab die Funktion schon mal gezeichnet:

 

Und jetzt bräucht ich ein bisschen Hilfe, weil ich nicht genau weis wie ich bei so einer Aufgabe rangehen muss.

Würde mir jemand dabei ein bisschen Helfen und sagen wie sowas geht?

LG Thomas

Answer 1

Punkt auf der Kurve hat die Koordinaten ( x  ;  x² - 3x + 3 )
Zeichne dir z.B. mal ( 1,5  ;  0,7 ) ungefähr ein und verbinde mit dem Nullpunkt und zeichne das
Lot auf die x-Achse. Dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypo. die gesuchte
Länge angibt. Also allgemein  l(x) = wurzel ( x^2 + ( x² - 3x + 3)^2 )
                                                              = wurzel( x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 18x + 9)
l ' (x) =   (1/2) * l( x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 18x + 9)^-0,5 * ( 2x^3 - 9x^2 + 16x -9)
Also l ' (x) = 0 nur für
( 2x^3 - 9x^2 + 16x -9)=0 und mit etwas probieren und Blick auf den Graphen hat man x=1.
Und in der Zeichnung sieht man, dass dort wirklich ein Extremwert ist.

Comments

Ok ich hab es bei mir eingezeichnet und die Formel die Du dann verwendest ist der Pythagoras oder?

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Genau, Pythagoras und um die Länge der Hypotenuse zu bekommen eben die Wurzel.

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OK, Dankeschön für deine Hilfe! ;D

Answer 2

Ein Punkt A( x | f(x) ) hat vom Ursprung immer den Abstand $$s=\sqrt { x²+f(x)² }$$

Ich hoffe das hilft dir weiter :)

Gruß
EmNero