Fanmeile, P(t) = 300000 (1-k^{-k*t})

Question

Die Fanmeile zur Fußball-WM wurde 60 Minuten vor Spielbeginn geöffnet. Nach 5 Minuten waren bereits 32 135 Personen eingelassen. Es wird angenommen, dass dass die Anzahl der eingelassenen Personen durch 

P(t) = 300 000 * (1-e^{-k*t})   beschrieben werden kann.  

k hab ich ausgerechnet ->  k= 0.0227

Aufgabe: Wie groß ist die Einlassgeschwingihkeit zu Beginn bzw. nach 30 Minuten?

Answer 1

P(t) = 300 000 * (1-e^-k*t)

Ich gehe einmal von deiner Berechnung aus

P ( t ) = 300000 * ( 1 - e^{-0.0227*t}  )

Einlaßgeschwindigkeit = 1.Ableitung

P ´ ( t ) = 300000 * ( 1 - e^{-0.0227*t} * -0.0227 )
P ´ ( t ) = 300000 * ( 1 + 0.0227 * e^{-0.0227*t}  )

Und nun berechnen

P ´ ( 0) = 300000 * ( 1 + 0.0227 * e^{-0.0227*0}  )
P ´ ( 30 ) = 300000 * ( 1 + 0.0227 * e^{-0.0227*30}  )

mfg Georg

Comments

Korrektur. Es muß heißen

Einlaßgeschwindigkeit = 1.Ableitung

P ´ ( t ) = 300000 * ( - e^-0.0227*t * -0.0227 )
P ´ ( t ) = 300000 * ( + 0.0227 * e^-0.0227*t  )

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Personen in der Fanmeile
P ( t ) = 300000 * ( 1 - e^(-0.0227*t)  )
Die maximale Personenanzahl ist dann
erreicht wenn
e^(-0.0227*t) gleich 0 ist
Die e-Funktion nähert sich bei
lim t -> ∞ [ e^(-0.0227*t) ] = e ^(-∞) = 0
im t -> ∞ [ P ( ∞ ) ] = 300000

Wenn man 60 min als Zeit zur Füllung
der Fanmeile vor Spielbeginn ansetzt
sind es
P ( 60 ) = 223156

Answer 2

k = 0.02266

f(t) = 300000 - 300000·e^{- 0.02266·t}

f'(t) = 6798·e^{- 0.02266·t}

f'(0) = 6798

f'(30) = 3445

Comments

ich habe noch eine Frage zu der Aufgabe. Die Aufgabe c) lautet: Wie groß ist die Maximalkapazität der Meile? (Wann erreicht die Auslastung 90 Prozent? --> es geht mir erst mal um die erste Teilaufgabe.)

Es gilt nun ja die Bedindung P'(t) = 0.

Kann ich die Maximalkapazität auch aus der Funktion herauslesen?

Ausmultipliziert gilt: f(t) = 300000 - 300000·e- 0.02266·t

Nun würde ich davon ausgehen, dass "300000" die Maximalkapazität ist.

...aber so ganz verstehen tue ich es doch nicht, wenn das denn überhaupt richtig ist.

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Doch das ist richtig. Du bildest den Grenzwert für t → unendlich

lim (t → ∞) 300000·(1 - e^(-k·t)) = 300000

Könntest du mir nochmal sagen aus welchem Buch die Aufgabe war?

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Alles klar, danke für die Rückmeldung.

Die Aufgabe ist von einem kopierten Zettel, daher weiß ich leider nicht aus welchem Buch diese kommt, tut mir Leid.