Verhalten der Funktionswerte der Funktionsschar f_{a}(x)= x^3-ax+2

Question

Aufgabe Analysis Ganzrationale Funktionen:

Gegeben ist die Funktionsschar \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=x^{3}-a x+2 ; x \in R, a \in R \).

~plot~ x^3-1x+2;x^3-2x+2;x^3-3x+2~plot~

Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f₃ für x → ∞ und x→ -∞ an..

Die Funktion lautet f₃(x)= x^3 - 3x + 2.

Wie schreibe ich das in diesem Fall mit dem Verhalten der Funktionswerte auf?

Answer 1

Für x gegen unendlich geht f_(3)(x) gegen unendlich und für  x gegen minusunendlich geht f_(3)(x) gegen minusunendlich. Das schreibst formal z.B. du folgendermassen:

lim_(x->∞) f_(3)(x) = ∞

lim_(x->-∞) f_(3)(x) = -∞

Comments

ja, aber der graph strebt doch nicht nur gegen -∞ , x→ -∞ und andersrum genauso

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Für betragsmässig genügend grosse x hat der Schwenker im Bereich der y-Achse keinen Einfluss mehr.

Es ist nur der Summand mit der höchsten Potenz von x relevant.

Answer 2

f3(x) = x^3 - 3·x + 2

lim (x → -∞) f3(x) = -∞

lim (x → ∞) f3(x) = ∞

Das gilt aber nicht nur für a = 3 sondern generell. Daher kann man auch schreiben.

lim (x → -∞) fa(x) = -∞

lim (x → ∞) fa(x) = ∞

Answer 3

f ( x ) = x^3 - 3*x + 2
f ( x ) = x * ( x^2 - 3 ) + 2

lim x −> + ∞ 
( x^2 - 3 ) geht gegen x^2,  die 3 spielt keine Rolle mehr
2 spielt auch keine Rolle

lim x −> + ∞ [ x * x^2 ] = + ∞

lim x −> - ∞ 
( x^2 - 3 ) geht gegen x^2, die 3 spielt keine Rolle mehr
2 spielt auch keine Rolle

lim x −> + ∞ [ x * x^2 ] = ( - ∞ ) * ( + ∞ ) = - ∞

Answer 4

Hi,
die Funktion \( f_a \) lässt sich schreiben als
$$  f_a(x) = x^3 \left( 1 - \frac{a}{x^2} + \frac{2}{x^3} \right) $$
Für \( x \to \pm \infty \) gehen die Terme in der Klammer die \( x \) enthalten gegen \( 0 \) und \( x^3 \) geht gegen \( \pm \infty \)
Also gilt
$$ \lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = \pm \infty $$
Also genau so wie aus dem Bild ersichtlich.