Streckenabschnitte auf einer Schneckenfunktion

Question

Es liegt diese Funktion vor:

$$ s(t)=t \cdot \begin{pmatrix}  cos (t)\\sin(t) \end{pmatrix} $$

Die Streckenabschnitte sollen in n gleiche Einheiten der Länge 1 eingeteilt werden.

Wie kann ich die Punkte bestimmen, die jeweils eine Einheit auf dem Kurvenverlauf markieren ?

Irgendwie mit Linienintegral ???

$$ \int_\pi^{P_1} \, s(t)\,  dt =1 $$

$$ \int_{P_1}^{P_2} \, s(t)\,  dt =1 $$

$$ \int_{P_2}^{P_3} \, s(t)\,  dt =1 $$

wie kann ich das so formulieren, dass ich für jeden Punkt n ein t bekomme?

$$ P_n \rightarrow t(n)= f(n)  $$

Comments

Bei dir ist s(t) doch nur der Einheitskreis?

Für eine Schneckenfunktion müsste dort noch ein Faktor stehen.

Außerdem sollte bei einer Schneckenfunktion noch angegeben sein in welchem Intervall t liegt.

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Da steht doch noch ein t vor dem Vektor.

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Der Faktor t steht doch vor dem Spaltenvektor.

Und t beginnt bei t=pi und die obere Grenze kann ich ja irgendwo hinlegen, wie ich will z.B. t=50pi

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Oh. Ich bin Blind.

Und t läuft jetzt von 0 bis dorthin wo die Länge 1 erreicht ist und dann weiter bis zur Länge 2 usw?

Und gesucht sind jetzt die t's nach dem ich ein Vielfaches der Länge 1 erreicht habe?

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Ja, so ist es gedacht.

Ein Käfer läuft auf der Schneckenlinie entlang und macht alle Einheit (z.B. 1 cm) eine Verschnaufpause.

Die "Rastplätze" sind nun zu markieren.

Idealerweise latscht der Käfer erst bei to=pi los, aber das ist vermutlich egal - es geht ja um die generelle Berechnung dieses Problems

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x(t) = t·COS(t)
y(t) = t·SIN(t)

x'(t) = COS(t) - t·SIN(t)
y'(t) = t·COS(t) + SIN(t)

L = ∫ (a bis b) √((x'(t))^2 + (y'(t))^2) dx

L = ∫ (a bis b) √((COS(t) - t·SIN(t))^2 + (t·COS(t) + SIN(t))^2) dx

L = ∫ (a bis b) √(t^2 + 1) dx

L = (LN(√(t^2 + 1) + t) + t·√(t^2 + 1))/2 [Das gilt jetzt für den Weg ab 0 bis t]

Ich sehe gerade nicht wie ich das gleich k setzen kann und dann nach t auflösen kann.

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Vielen Dank mal für die Starthilfe- ich vollziehe mal nach und passe etwas an:

$$ s(b) = ∫_0^b \, \sqrt{(\cos(t) - t·\sin(t))^2 + (t\cdot \cos (t) + \sin(t))^2} \, dt  $$
$$ s(b) = ∫_0^b \, \sqrt{(\cos^2(t) -2 t\cdot sin(t) \cos(t) +t^2·\sin^2(t)) + (t^2\cdot \cos^2 (t)+2 t\cdot sin(t) \cos(t) + \sin^2(t))} \, dt  $$
$$ s(b) = ∫_0^b \, \sqrt{\cos^2(t) +t^2·\sin^2(t) + t^2\cdot \cos^2 (t) + \sin^2(t)} \, dt  $$
$$ s(b)= ∫_0^b \, \sqrt{\cos^2(t) +t^2·\sin^2(t) + t^2\cdot \cos^2 (t) + \sin^2(t)} \, dt  $$
$$ s(b)= ∫_0^b \, \sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t) +t^2·(\sin^2(t) +  \cos^2 (t) ) } \, dt  $$
$$ s(b)= ∫_0^b \, \sqrt{1 +t^2 } \, dt  $$

... und tüftel gleich etwas weiter ...

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Möglicherweise machen auch Polarkkordinaten Sinn ???

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$$ s(b)= ∫_0^b \, \sqrt{1 +t^2 } \, dt  $$
$$  \int \,\sqrt{1+t^2} \, dt = \frac 1 2 \left(t \cdot \sqrt{t^2+1}   +     \ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\, \right)+C  $$
$$  \int_0^b \,\sqrt{1+t^2} \, dt = \frac 1 2 \left(t \cdot \sqrt{t^2+1}   +     \ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\, \right)  $$
$$  s(b) = \frac 1 2 \left(t \cdot \sqrt{t^2+1}   +     \ln\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\, \right)  $$

jetzt hab ich den letzten Schritt auch gerafft ...

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Polarkoordinaten - gut:

$$\vec s(t)= t \cdot e^{i \cdot t}$$

das probier ich mal !

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Ich denke die Gleichung ist nur numerisch zu lösen. Hier die ersten 10.

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Im Prinzip ja - eine Umkehrfunktion lässt sich aus dem Integral nicht rausbasteln, weils ein transzendente Funktion ergibt.

Allerdings ist die Funktion nicht gar so fürchterlich krumm, wie sie von der Formel her aussieht - ich habe mal eine quadratische Gleichung angenährt und sieheda:

$$q(t) =\frac{ t² } 2 + \frac{ t }5 +\frac 1  2$$

passt für t<100 mit 1,4% Fehler, was völlig wunderbar ist für meine Anwendung.

und davon lässt sich ja bekannterweise recht leicht die Umkehrfunktion bilden.

*hops* :) *froi*

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Hi, ist die Frage jetzt beantwortet, dann würde ich sie jetzt auf beantwortet stellen, damit sie aus den offenen Fragen raus fällt.

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Nur keine Panik !!!

Ich bin noch am Tüfteln, ob ich irgendwie schon vorher was vereinfachen oder "anähneln" kann, um die Regressionsparabel zu vemeiden.

Das Schneckli ist ja nur der Anfang - ich wollt das eventuell noch mit Parametern versehen und noch ist das nicht so wirklich handlich und automatisiert.

Ziel ist die Schnecke in GeoGebra zu zeichnen und Startpunkt sowie Folgeabstände als Schieberegler zu gestalten. Auch die Länge der Schnecke (obere Grenze) ist ein Schieberegler.

So sieht dann der Ausdruck aus:

Schnecke.pdf (12 kb) 

Hätte nicht gedacht, dass das dermassen schwierig ist - bin ich denn der erste Mensch auf der Welt, der das wissen will ?

Eigentlich habe ich auf eine Fertiglösung aus irgendeinem UNI-Script gehofft, an das sich irgendwer noch erinnert ...

Answer 1

Hier leider ohne Schieberegler

Comments

... und ohne Rastpunkte ...

dafür mit kariertem Hintergrund.

Da war ich schon vor ein paar Stunden.

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Inzwischen habe ich weitergeforscht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

Alle Punkte, die mit dem Abstand 1 auf die Schnecke aufzufädeln sind, können mit Polarkoordinaten beschrieben werden:

$$ P(n)=( r(n) ,\phi(n))  $$ mit $$ r(n)= \frac 4\pi \sqrt n   $$$$ \phi(n)= \frac \pi 2  \sqrt n   $$

oder auch mit cartesischen Koordinaten:

$$P(n) = \frac 4\pi \sqrt n \begin{pmatrix}    \cos \left( \frac \pi 2  \sqrt n\right)   \\ \sin \left( \frac \pi 2  \sqrt n\right) \end{pmatrix} $$

$$n \in \mathbb{N}$$

Interessant hierbei : An jeder Schnittstelle der Schneckenkurve mit einer der Achsen ist die Variable "n" eine Quadratzahl .