Bestimmen Sie die partielle Ableitung (Jacobi-Matrizen)

Question

Ich bereite mich auf meine Analysis II Klausur vor und habe große Probleme mit diesen zwei Aufgaben:

Bestimmen Sie die partielle Ableitung \( \frac{\partial}{\partial x}\left[f\left(x^{2}, y-x\right)\right] \), falls die Jacobi-Matrix von \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben ist durch
\( J_{f}(u, v)=\left(\begin{array}{ll} u & 1 \\ 0 & v \end{array}\right), \quad(u, v) \in \mathbb{R}^{2} . \)

Für \( f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, f(x, y)=g\left(x^{2}-y^{2}, x+y\right) \) berechnen Sie die Jacobi-Matrix \( J_{f}(1,1) \), falls \( g \in C^{1}\left(\mathbf{R}^{2}, \mathbb{R}^{2}\right) \) ist mit

\( J_{g}(u, v)=\left(\begin{array}{ll} u & v \\ v & u \end{array}\right) \)

Answer 1

Hi,
die Funktion \( f(x,y) \) kann man schreiben als, $$ f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}  $$ da \( f \) eine Funktion von \( \mathbb{R^2} \to \mathbb{R^2} \) ist. Die Jacobimatrix lautet dann
$$  J_f(x,y) = \begin{pmatrix}  \frac{\partial}{\partial x}f_1(x,y) & \frac{\partial}{\partial y}f_1(x,y) \\ \frac{\partial}{\partial x}f_2(x,y) & \frac{\partial}{\partial y}f_2(x,y) \end{pmatrix} $$ und da gilt
$$  J_f(u,v) = \begin{pmatrix}  u & 1 \\ 0 & v \end{pmatrix} $$ folgt aus \( \frac{\partial}{\partial x}f_1(u,v) = u \), dass gilt
\( f_1(x,y) = \frac{x^2}{2} + g(y) \) und aus \( \frac{\partial}{\partial y}f_1(u,v) = 1 \), dass gilt

\( f_1(x,y) = y + h(x)  \)
Wenn man diese beiden Ausdrücke für \( f_1 \) vergelicht, erhält man \( g(y) = y \) und \( h(x) = \frac{x^2}{2} \), also
$$ f_1(x,y) = \frac{x^2}{2} + y  $$
Aus die selbe Art bekommt man für \( f_2 \) den Ausdruck
$$ f_2(x,y) = \frac{y^2}{2}  $$
Damit hat man die Funktion \( f(x,y) \) bestimmt und kann nun \( \frac{\partial}{\partial x} f(x^2, y-x) \) ganz normal mit der Kettenregel ausrechnen und kommt auf
$$ \frac{\partial}{\partial x} f(x^2, y-x) = \begin{pmatrix} 2x^3-1\\x-y \end{pmatrix}  $$

Comments

Hätte da noch Fragen: Wie kommst du auf f₁(x,y)=x²/2 + g(y) und anschließend auf y+h(x)? Woher nehme ich diese Funktionen bzw. wie komme ich darauf?

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Hi,
das ist vergleichbar mit einer Integration im eindimensionalen. Dort gibt es eine Integrationskonstante die hier durch eine beliebige Funktion die nur von \( y \) abhängt, ersetzt wird. Wenn man \( f_1 \) nach \( x \) partiell differenziert, kommt wieder \( x \) raus. Das gleiche macht man bzgl. der partiellen Ableitung nach \( y \). Hier bekommt man sozusagen als Integrationskonstante eine beliebige Funktion die nur von \( x \) abhängt. Da aber beide Darstellungen der Funktion \( f_1 \) identisch sein müssen, gilt
$$ \frac{x^2}{2} + g(y) = y + h(x)  $$ Und das ist identisch, wenn \( g(y) = y \) und \( h(x) = \frac{x^2}{2} \)

Answer 2

auf Unwissenheit stößt du hier nicht, Geduld ist eine Tugend.

Maximaler Ansatz:

Die Aufgaben beziehen sich einfach auf die Anwendung der Kettenregel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel

Du hast in beiden Fällen eine Verkettung von Funktionen.

Gruß