Bestimmen Sie die partielle Ableitung (Jacobi-Matrizen)

Question

Ich bereite mich auf meine Analysis II Klausur vor und habe große Probleme mit diesen zwei Aufgaben:

Bestimmen Sie die partielle Ableitung $\frac{\partial}{\partial x}\left[f\left(x^{2}, y-x\right)\right]$, falls die Jacobi-Matrix von $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ gegeben ist durch
$J_{f}(u, v)=\left(\begin{array}{ll} u & 1 \\ 0 & v \end{array}\right), \quad(u, v) \in \mathbb{R}^{2} .$

Für $f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, f(x, y)=g\left(x^{2}-y^{2}, x+y\right)$ berechnen Sie die Jacobi-Matrix $J_{f}(1,1)$, falls $g \in C^{1}\left(\mathbf{R}^{2}, \mathbb{R}^{2}\right)$ ist mit

$J_{g}(u, v)=\left(\begin{array}{ll} u & v \\ v & u \end{array}\right)$

Answer 1

Hi,
die Funktion $f(x,y)$ kann man schreiben als, $$f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}$$ da $f$ eine Funktion von $\mathbb{R^2} \to \mathbb{R^2}$ ist. Die Jacobimatrix lautet dann
$$J_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}f_1(x,y) & \frac{\partial}{\partial y}f_1(x,y) \\ \frac{\partial}{\partial x}f_2(x,y) & \frac{\partial}{\partial y}f_2(x,y) \end{pmatrix}$$ und da gilt
$$J_f(u,v) = \begin{pmatrix} u & 1 \\ 0 & v \end{pmatrix}$$ folgt aus $\frac{\partial}{\partial x}f_1(u,v) = u$, dass gilt
$f_1(x,y) = \frac{x^2}{2} + g(y)$ und aus $\frac{\partial}{\partial y}f_1(u,v) = 1$, dass gilt

$f_1(x,y) = y + h(x)$
Wenn man diese beiden Ausdrücke für $f_1$ vergelicht, erhält man $g(y) = y$ und $h(x) = \frac{x^2}{2}$, also
$$f_1(x,y) = \frac{x^2}{2} + y$$
Aus die selbe Art bekommt man für $f_2$ den Ausdruck
$$f_2(x,y) = \frac{y^2}{2}$$
Damit hat man die Funktion $f(x,y)$ bestimmt und kann nun $\frac{\partial}{\partial x} f(x^2, y-x)$ ganz normal mit der Kettenregel ausrechnen und kommt auf
$$\frac{\partial}{\partial x} f(x^2, y-x) = \begin{pmatrix} 2x^3-1\\x-y \end{pmatrix}$$

Comments

Hätte da noch Fragen: Wie kommst du auf f₁(x,y)=x²/2 + g(y) und anschließend auf y+h(x)? Woher nehme ich diese Funktionen bzw. wie komme ich darauf?

---

Hi,
das ist vergleichbar mit einer Integration im eindimensionalen. Dort gibt es eine Integrationskonstante die hier durch eine beliebige Funktion die nur von $y$ abhängt, ersetzt wird. Wenn man $f_1$ nach $x$ partiell differenziert, kommt wieder $x$ raus. Das gleiche macht man bzgl. der partiellen Ableitung nach $y$. Hier bekommt man sozusagen als Integrationskonstante eine beliebige Funktion die nur von $x$ abhängt. Da aber beide Darstellungen der Funktion $f_1$ identisch sein müssen, gilt
$$\frac{x^2}{2} + g(y) = y + h(x)$$ Und das ist identisch, wenn $g(y) = y$ und $h(x) = \frac{x^2}{2}$

Answer 2

auf Unwissenheit stößt du hier nicht, Geduld ist eine Tugend.

Maximaler Ansatz:

Die Aufgaben beziehen sich einfach auf die Anwendung der Kettenregel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel

Du hast in beiden Fällen eine Verkettung von Funktionen.

Gruß