Sind unitäre Opertoren isometrisch?

Question

Unitäre Operatoren sind Abbildungen folgender Art: U : H -> V wobei H, V Hilberträume sind. U soll bijetiver Operator sein und es gelte: _{ V }=_{ H }\quad \quad (\quad \Leftrightarrow \quad \| Uf\| _{ V }=\| f\| _{ H }\quad ) (Mein Browser zeigt Bild Hochladen nicht an... ) Wo ist da der Unterschied zur Isometrie? Das ist doch auch eine lineare Abbildung, die Normerhalten wirkt, nur das die nicht bijektiv sein muss. #Ist das echt der Unterschied???

Answer 1

Die Sache sieht folgendermaßen aus: Jeder unitäre Operator ist isometrisch, aber im Allgemeinen ist nicht jeder isometrische Operator unitär, zumindest nicht in unendlichdimensionalen Hilberträumen.

Ein Beispiel ist der Leiteroperator V, der dem n-ten Basiszustand den n+1-ten Basiszustand zuordnet.
Man zeigt relativ leicht, dass er isometrisch ist und tatsächlich gilt auch

V^†V = 1

aber

VV^† = 1 - |ψ₁><ψ₁|

damit ist V nicht unitär.

 

Comments

Vielleicht als kleine Ergänzung noch eine anschauliche Erklärung, warum V^†V und VV^† gerade so aussehen müssen:

Der Leiteroperator sei definiert auf einem Hilbertraum mit der unendlichen VON-Basis |ψ₁>.
Symbolisiert man diese Basis (formal!) durch die kartesischen Einheitsvektoren (1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ..., (0, 0, 1, ...) usw. dann ordet V einem Einheitsvektor (0, 0, ..., 1, 0, ...) den Einheitsvektor (0, 0, ..., 0, 1, ...) zu, die 1 wird also um einen Schritt nach hinten verschoben.

Da ein Operator vollständig durch die Bilder der Basisvektoren definiert ist, ist V damit wohldefiniert (man kann jeden beliebigen Vektor nun nach dieser Basis entwickeln und V einzeln ausführen.)

Man schreibt dies als V|ψ_n> = |ψ_n+1>

Man sieht nun leicht, dass V^†|ψ_n+1> = |ψ_n> gilt, denn es gilt <φ|A^†|χ> = <χ|A|φ>^†, also:

<ψ_j|V^†|ψ_n+1> = <ψ_n+1|V|ψ_j>^† = <ψ_n+1|ψ_j+1>^† = δ_nj = <ψ_j|ψ_n>

Da das für alle <ψ_j| gilt, folgt V^†|ψ_n+1> = |ψ_n>.

Durch das Adjungierte von V wird die 1 also wieder um einen Schritt nach vorne geschoben - man könnte jetzt sagen, dann müsse V doch unitär sein, denn wenn man einen Schritt in die eine und danach in die andere Richtung macht, ist das doch immer die identische Abbildung.

Das ist in die eine Richtung auch wahr, daraus folgt dann V^†V = 1, man erkennt es z.B. indem man einfach

V^†V|ψ_n> = V^†|ψ_n+1> = ψ_n>

ausführt.

Andersherum scheint das zunächst auch so zu sein, ein Problem ist aber der erste Basisvektor |ψ₁> wendet man nämlich auf diesen zunächst den (sogenannten Vernichtungsoperator) V^† an, so ist das Ergebnis zunächst undefiniert, weil kein |ψ₀> existiert.
Man setzt daher V^†|ψ₁> = 0, muss dann jedoch auch anerkennen, dass auch

VV^†|ψ₁> = V0 = 0

gilt, sodass insgesamt

VV^† = 1 - |ψ₁><ψ₁|

folgt.