Zeige dass es ein x=[0,1] gibt mit f(x)=g(x)

Question

Es sind zwei Funktionen gegeben:

f(x):= sin(x)+4 und g(x):= x^3-x

Jetzt soll ich zeigen bzw. widerlegen, dass es ein x∈[0,1] gibt mit f(x)=g(x).

Wie muss ich das machen? Mir geht es um die genaue Vorgehensweise bei solchen Aufgaben, da ich bisher noch keine Idee habe.

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Hinweis
Eine Berechnung eines eventuellen Schnittpunkts kann nur z.B. mit dem
Newton Verfahren geschehen.
Das wird von dir auch nicht verlangt.

Jetzt soll ich zeigen bzw. widerlegen, dass es ein x∈[0,1] gibt mit f(x)=g(x).

Siehe die anderen Antworten.

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Answer 1

Berechne doch mal f(x) - g(x) sowohl für x =0 als auch für x=1.
Wenn einer der Werte positiv und der andere negativ ist, muss es
bei der stetigen Funktion ( und f-g ist stetig) ein x zwischen
0 und 1 geben, bei dem  f - g den Wert Null annimmt, und dort
ist natürlich f = g.

Comments

Ist es aber wohl nicht.
Ich glaube auch, dass die Ausasage falsch ist:
sin(x) + 4 hat nur Werte zwischen 3 und 5
und x^3 - x hat über [0;1] keine Werte größer 1. also
sind sie nie gleich.

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Danke für die superschnelle Antwort!

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Wenn ich jetzt die beiden Funktionen

f(x)=e^2x und g(x)=x^3-x habe, kommt ein positiver und ein negativer Wert raus. Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Oder kann ich dann gleich sagen, dass die beiden gleich sind ohne weitere Begründung?

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Die Antwort hat dir mathef schon gegeben

Wertebereiche der Funktionen

sin(x) + 4
sin ( 0 ) + 4 = 4
sin ( 1 ) + 4 > 4

x^3 - x
0^3 - 0 = 0
1^3 - 1 = 0

Die sin Funktion ist größer gleich 4.
Die andere Funktion ist 0 oder unter 0.

Beide Funktionen kommen sich nicht die Quere

Es müßte eigentlich noch genauer argumentiert werden.

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Was meinst du mit genauer argumentieren? Wie müsste ich so etwas zum Beispiel in einer Klausur korrekt hinschreiben?

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ich habe nur die Endpunkte des Intervalls betrachtet
und dann ungenau auf den Wertebereich geschlossen.
Es könnte im Intervall ja noch ein anderer Hoch oder
Tiefpunkt vorhanden sein.
Ich werde den 100 % - Nachweis einmal erbringen, aber
erst später.

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sin(x) + 4
sin ( 0 ) + 4 = 4
sin ( 1 ) + 4 > 4

Die sin-Funktion ist im Bereich 0 bis 1 steigend
( bitte den Graph anschauen falls nicht vor dem geistigen Auge präsent )

Die Funktion f ( x )  = sin(x) + 4 liegt im Intervall stets über 4.
Genau W = [ 4 ; 4.84 ]

x³ - x
0³ - 0 = 0
1³ - 1 = 0

Gibt es einen Extrempunkt zwischen x = 0 und x = 1 ?
Da die Funktion nicht konstant y  = 0 ist gibt es einen Stelle
y > 0 oder y < 0

1.Ableitung und Extremstelle
3*x^2 - 1 = 0
3*x^2 = 1
x^2 = 1/3
x = 0.577
g ( 0.577 ) = 0.577^3 - 0.577
g ( 0.577 ) = -0.3845

( 0.577  | -0.3845 );
Der Wertebereich von g ist [ -0.3845 ; 0 ]

Die Funktionen können sich nicht schneiden.

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@georg: Kleiner Hinweis: Die Berechnung der Extrempunkte ist gar nicht notwendig. Es sollte klar sein, dass \(x^3<x\) gilt für \(x\in (0,1)\), und damit \(x^3-x<0\) für \(x\in(0,1)\).
Dein Weg ist natürlich auch richtig, aber meiner vielleicht etwas schneller.

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@nick
alles richtig und schneller und eleganter usw was du gesagt hast.

Ich schrieb meine Antwort aber für den Fragesteller
und dessen vermuteten Kenntnisstand.

Deshalb etwas längereres in einzelnen Schritten.