Grenzwert berechnen ln n^3 ...

Question

Grenzwert berechnen:

$$ a_{n} =\left(\frac{\ln n^{3}+\ln n^{2}+\ln \sqrt{n}}{\ln n^{4}-\ln n+\ln \sqrt{n}}\right)^{-n}=\left(\frac{\ln n^{4}-\ln n+\ln \sqrt{n}}{\ln n^{3}+\ln n^{2}+\ln \sqrt{n}}\right)^{n}=\left(\frac{\ln \left(n^{4}-n+\sqrt{n}\right)}{\ln \left(n^{3}+n^{2}+\sqrt{n}\right)}\right)^{n} \\ =\left(\frac{n^{4}-n+\sqrt{n}}{n^{3}+n^{2}+\sqrt{n}}\right)^{n}=\left(\frac{1-\frac{1}{n^{3}}+\sqrt{\frac{1}{n^{7}}}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\sqrt{\frac{1}{n^{7}}}}\right)^{n} \\ \Rightarrow {n \rightarrow \infty}\left(\frac{1-0+0}{0+0+0}\right)^{n}=\left(\frac{1}{0}\right)^{n} $$

Ansatz/Problem:

Ich versuche, diese Grenzwertaufgabe zu lösen, leider ist diese wohl ein Typ 1/0, wo ich nun weiter umformen muss, leider weiß ich nicht wie ich nun weiter verfahren soll.

Answer 1

Achtung: Du darfst ln nicht einfach ausklammern.

Benutze Logarithmusgesetze. Bsp:

ln (n^4) - ln (n) = ln (n^4 / n) = ln(n^3)

oder auch

ln (n^4) - ln n = 4 ln (n)  - ln(n) = 3 ln(n) 

Comments

Oh, das finde ich aber nun hart - du hast natürlich vollkommen recht (bin leider nicht so fit mit den Logarithmen) aber das mit dem Ausklammern hat mir die Tutorin gesagt... toller Tipp. :D

Ich hab es nun nochmal probiert, ist die Lösung nun richtig, in allen Schritten?:

\( a_{n}=\left(\frac{\ln n^{3}+\ln n^{2}+\ln \sqrt{n}}{\ln n^{4}-\ln n+\ln \sqrt{n}}\right)^{-n}=\left(\frac{\ln n^{3} n^{2}+\ln n^{\frac{1}{2}}}{\ln \frac{n^{4}}{n}+\ln n^{\frac{1}{2}}}\right)^{-n} \)
\( =\left(\frac{\ln n^{5}+\frac{1}{2} \ln n}{\ln n^{3}+\frac{1}{2} \ln n}\right)^{-n}=\left(\frac{\frac{1}{2} \ln n^{5} n}{\frac{1}{2} \ln n^{3} n}\right)^{-n}\left(\frac{\frac{1}{2} \ln n^{6}}{\frac{1}{2} \ln n^{4}}\right)^{-n} \)
\( =\left(\frac{\frac{6}{2} \ln n}{\frac{4}{2} \ln n}\right)^{-n}=\left(\frac{3 \ln n}{2 \ln n}\right)^{-n}=(3 \ln n-2 \ln n)^{-n}=(\ln n)^{-n} \)
\( =(\ln n)^{-n}=\frac{1}{(\ln n)^{n}} \quad \frac{{n \text { gegen } \infty}}{2} 0 \)

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Zu Beginn sieht es gut aus.

Zu Beginn der 2. Zeile erfindest du wieder eine Regel.

ln(n^5) + 1/2 ln(n) ≠ 1/2 ln ( n^5 n)

Müsste heissen:

ln(n^5) + 1/2 ln(n) = 5ln(n) + 1/2 ln(n) = 5.5 ln(n)

Nenner analog.

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Achso, also muss man erst immer alles aus dem Log herausziehen, ehe man die miteinander verrechnen kann? Bzw. der Inhalt muss gleich sein... ok.

Kann ich nun ln n einfach herauskürzen und dann sagen das wegen 11^n > 7^n der Grenzwert gegen 0 läuft?

\( a_{n}=\left(\frac{\ln n^{3}+\ln n^{2}+\ln \sqrt{n}}{\ln n^{4}-\ln n+\ln \sqrt{n}}\right)^{-n}=\left(\frac{\ln n^{3} n^{2}+\ln n^{\frac{1}{2}}}{\ln \frac{n^{4}}{n}+\ln n^{\frac{1}{2}}}\right)^{-n} \)
\( =\left(\frac{5 \ln n+\frac{1}{2} \ln n}{3 \ln n+\frac{1}{2} \ln n}\right)^{-n}=\left(\frac{\frac{11}{2} \ln n}{\frac{7}{2} \ln n}\right)^{-n}=\left(\frac{11 \ln n * 2}{7 \ln n * 2}\right)^{-n} \)
\( =\left(\frac{11 \ln n}{7 \ln n}\right)^{-n}=\left(\frac{11 \ln n}{7 \ln n}\right)^{-n}=\left(\frac{7 \ln n}{11 \ln n}\right)^{n}=? \)

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Sieht jetzt recht gut aus.

Sobald du oben und unten den Faktor ln(n) hast, darfst du den rauskürzen. Es gilt somit ? = (7/11)^n.

Und

(7/11)^n → 0 für n gegen unendlich.

Answer 2

Hi,

ich hab da so meine Bedenken, was die Richtigkeit angeht.

Einmal gilt sicherlich nicht \( ln(n^4)-ln(n)+ln(\sqrt{n}) = ln(n^4-n+\sqrt{n})  \)

Des weiteren gilt ebenfalls nicht \( \frac{ln(x)}{ln(y)} = \frac{x}{y}  \)

Nutze die Logarithmusregeln \( ln(a \cdot b) = ln(a) + ln(b) \) und \( ln(a^x) = x \ln(a) \) dann erhält man als Grenzwert \( 0 \).