Analysis, reelle Funktionen f(x)=-1/12x^3+3/2x+9 & gt (x) = 1/4x^2-tx+9

Question

Ich versteh diese Aufgabe einfach nicht, kann mir dabei jemand Bitte Helfen? + Rechenweg, Erklärung

Danke LG Thomas

Gegeben ist die reelle Funktion f:     f(x)=-1/12x^3+3/2x+9   , xeR  Der Graph der Funktion f wird mit Gf bezeichnet. Weiterhin sind die reelle Funktion gt (x) = 1/4x^2-tx+9,     xeR, teR     gegeben. Die Graphen gt werden mit Kt bezeichnet.

Aufgabe:

Der Graph K3 und der Graph Gf werden im Intervall [0;6] betrachtet. Berechnen Sie, an welcher Stelle x die Differenz d(x)=f(x)-g3(x) der Funktionsgraphen K3 und Gf maximal ist (einschließlich Nachweis)

Answer 1

Hier meine Rechnung

1.Zeile f
2. g3
3. d = f - g
4. 1.Ableitung d = d ´
5. Extremwerte d´ = 0 : x = 3.359

Der Graph von d

Jetzt bliebe noch zu zeigen, da ja Nachweise gefordert werden,
das der Extremwert ein Maximum ist. Also
- 2.Ableitung bilden und x = 3.359 einsetzen

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Hi Georg,

ich habe mir deine Lösung gerade angesehen und jetzt hab ich noch eine Frage, weil in der Aufgabenstellung was steht von Graph K3, Kt und wie sie alle heißen. Was geschieht mit denen?

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Diese Schreibweise wird dir noch häufiger  begegnen

g _t ( x ) = 1/4 * x² - t * x + 9

Damit ist eine Kurvenschar gemeint bei denen t variabel ist

t = 1 : g ₁ ( x ) = 1/4 * x² - 1 * x + 9 : der Graph wird bezeichnet mit K₁
t = 2 : g ₂ ( x ) = 1/4 * x² - 2 * x + 9 : der Graph wird bezeichnet mit K₂
usw

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Ok alles klar.

Ich hab jetzt die 2. Ableitung gebildet:

d´´= -1/2x -1/2

x eingesetzt:

d´´= -1/2* 3,359 -1/2

d´´= -42/25 -1/2

Ich hoffe das es so richtig ist...

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d´´= -42/25 -1/2
Ich hoffe das es so richtig ist... 

Du hast richtig gehofft.

So genau braucht es nicht ausgerechnet werden.
Es genügt zu sehen ob die 2.Ableitung positiv ( Tiefpunkt )
oder negativ ( Hochpunkt ) ist.
Hier Hochpunkt ( Maximum )

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Du hast mir sehr weitergeholfen! : )

LG Thomas

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Viele Erfolgserlebnisse beim weiteren Erlernen der Mathematik.
Vor dir liegt noch ein weites Land.

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Ja das glaub ich auch. Danke

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Answer 2

Hi,
bilde die Funktion \( d(x) = f(x) - g_3(t) \) und berechne die Nullstellen von \( \frac{d}{dx}d(x) =   \frac{-3x^2-x+9}{2} = 0  \)
Ergebnis ist \( x_0 = \frac{\sqrt{109}-1}{6} \)
Die zweite Ableitung lautet \( \frac{d^2}{dx^2}d(x) = -3x-\frac{1}{2} \) und an der möglichen Extremwertstelle ist die zweite Ableitung \( < 0 \), also liegt ein Maximum vor.