Kurvendiskussion: fT(x)= tx *e^{-tx+1}

Question

Brauche Hilfe bei dieser Kurvendiskussion.

bzw, Lösung

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Ableitungen bilden - klappt nich oder?

Answer 1

Ableitungen (t ist Parameter, Nutze Produkt- und Kettenregel, dann zusammenfassen):

ft'(x) = (t-tx)*e^-tx+1

ft''(x) = (-t-t^2+t^2x)*e^-tx+1

y-Achsenabschnitt: ft(0) = 0

Beachte im Weiteren, dass e^-tx+1 immer ungleich Null ist.

Nullstelle: ft(x)=0=tx*e^-tx+1     =>     x=0

Extremstelle: Notwendig ft'(x)=0=(t-tx)*e^-tx+1     =>    t-tx = 0      =>    x=1

Extremstelle: Hinreichend: ft''(1) = (-t-t^2+t^2)*e^-t+1 = -t*e^-t+1 ist ungleich 0, wenn t ungleich 0 ist. x=1 ist eine Stelle für einen Hochpunkt, wenn t > 0 ist. x=1 ist Stelle für einen Tiefpunkt, wenn t<0 ist.

Wendestelle: Notwendig ft''(x) = 0 = (-t-t^2+t^2x)*e^-tx+1     =>    -t-t^2+t^2x = 0      =>    x = (t+t^2)/t^2

Wendestelle: Hinreichend: ft'''((t+t^2)/t^2) ungleich 0 muss gezeigt werden.

Nicht symmetrisch: ft(-x) = -tx*e^tx+1 ist weder f(x) noch -f(x).

Verhalten im Unendlichen:

Für sehr große x wird e^-tx+1 sehr klein, wenn t > 0 ist. Dann verläuft der Graph aus dem ersten Quadranten gegen Null. Es wird sehr groß, wenn t < 0 ist. Dann verläuft der Graph gegen minus Unendlich.

Für sehr kleine x wird e^-tx+1 sehr klein, wenn t < 0 ist. Dann verläuft der Graph aus dem ersten Quadranten gegen Null. Es wird sehr groß, wenn t > 0 ist. Dann verläuft der Graph gegen minus Unendlich.

Keine Polstellen. Definitionsbereich: alle reellen Zahlen. Wertebereich hängt von t ab (siehe Verhalten im Unendlichen).

Comments

deine erste ableitung ist bereits falsch :))