Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte von ....

Question

a) f_t(x) = (t²/16)*x⁴ +( t/2)*x³ für t > 0.

b) f_t(x) = (t²/32)*x⁴ - (t/4)*x³ für t > 0.

Answer 1

Also, der erste wichtige Punkt: was ist die "Ortskurve der Wendepunkte"?

Was du da siehst sind Funktionenscharen, also Mengen von Funktionen, die von einem Parameter t abhängen.

Legt man t fest (z.B. t=1) so erhält man ein spezielles Objekt dieser Menge, z.B:
f₁(x) = 1²/16 * x⁴ + 1/2 * x³ = x⁴/16 + x³/2

Jede dieser Funktionen besitzt einen Wendepunkt, das heißt einen Punkt, an dem f''(x) = 0, sowie f'''(x)≠0 gilt. Die Lage dieses Wendepunktes hängt allerdings vom Parameter t ab, er beschreibt also eine Menge von Punkten der Form (x(t), y(t)). Die Ortskurve ist nun eine Kurve, die durch alle diese Punkte hindurchgeht.

Die Gleichung der Ortskurve kann nun dadurch gewonnen werden, dass man eine Funktion g findet, für die gilt:
y(t) = g(x(t))

g ist dann die Gleichung der Ortskurve.

 

Ich rechne das vor die erste Aufgabe mal vor, die zweite kannst du dann selbst probieren:

f_t(x)=t²/16 *x⁴+t/2 *x³ für t > 0:

f_t'(x) = t²*x³/4 + 3t/2 * x²

f_t''(x) = 3t²x²/4 + 3t*x

f_t'''(x) = 3t²x/2 + 3t

 

0 = f_t''(x):

0 = 3t²x²/4 + 3tx

0 = x*(3t²x/4 + 3t)

Eine Lösung ist offenbar x = 0, diese ist allerdings nicht von t abhängig und somit irrelevant.

0 = 3t²x/4 + 3t |-3t

-3t = 3t²x/4 |:3t²

-1/t = x/4 |*4

-4/t = x

Die x-Stelle der möglichen Wendepunkte ist also -4/t.

Setzt man diese Stelle in die dritte Ableitung ein, so ergibt sich:

f_t'''(-4/t) = 3t²*(-4/t)/2 + 3t = -6t + 3t = -3t

Für t>0 gilt also: f_t'''(-4/t) ≠ 0, es handelt sich also um eine Wendestelle.

 

Um die Lage der Punkte zu kennen, muss nun der y-Wert berechnet werden:
y(t) = f(x(t)) = f(-4/t) = t²/16 *(-4/t)⁴+t/2 *(-4/t)³ = 16/t²-32/t² = -16/t²

Die Wendepunkte sind also:
(-4/t, -16/t²) für t>0

Die Ortskurve ist hier relativ leicht zu finden, denn man sieht leicht, dass y(t) = -(x(t)²) gilt. Das ist bereits die Ortskurve! Betrachtet man noch den Definitionsbereich von t, so erkennt man, dass es sich um den linken Ast einer Parabel handelt. Ich möchte aber noch ein allgemeines Lösungsverfahren vorstellen:

Bekannt sind:
x(t) = -4/t

y(t) = -16/t²

Um die Ortskurve zu bestimmen, muss y(x) ermittelt werden. Das kann z.B. erreicht werden, indem die erste Gleichung nach t(x) umgestellt (es wird also die Umkehrfunktion berechnet) und in die zweite Gleichung eingesetzt wird.

erste Gleichung nach t umstellen:

x = -4/t |*t

tx = -4 |/x

t = -4/x

in die zweite Gleichung einsetzen:

y = -16/t² = -16/(-4/x)² = -16 * (x/4)² = -x² *16/16 = -x²

also genau das erwartete Ergebnis.

Comments

 

Da die erste Aufgabe dort schon gelöst ist hier einfach eine Bemerkung zur Zweiten:

Der einzige Unterschied ist der jeweils verdoppelte Nenner. Die einzelnen Kurven der zweiten Kurvenschar verlaufen exakt in der Mitte zwischen der ersten und der x-Achse. Das muss auch für die Wendepunkte gelten. Deshalb sollte, wenn man richtig rechnet auch die gesuchte Ortskurve g₂(x) in der Mitte zwischen der x-Achse und der ersten Ortskurve g₁(x) liegen.

Die Gleichung wäre somit g₂(x) = 0,5 g₁(x), also y = -0,5 x²