Beweisen, dass es natürliche Zahlen n und k gibt, so dass gilt...

Question

Es sei (G, •) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und f : N → G sei eine beliebige Folge. Beweisen Sie, dass es natürliche Zahlen n und k gibt, so dass

f(n) • f(n + 1) • .. • f(n + k) = e 

gilt. 

Leider weiss ich nicht, wie an die Aufgabe heran. 

Answer 1

wenn du eine unendliche Folge von Elementen einer endlichen Gruppe
hast, kann st du ja mal beginnen und immer
ein Folgenglied
mit dem nächsten multiplizieren
f(1)*f(2)*f(3) ... etc
Die Ergebnisse müssen ja auch wieder Elemente der Gruppe sein Diese ist
aber endlich, also wird es irgendwann ein Ergebnis geben, dass schon einmal vorgekommen ist.

also etwa f(1)*f(2)*f(3) ...*f(n-1) =   f(1)*f(2)*f(3) ...f(n-1)*f(n)*f(n+1)*...*f(n+k)
Nenne das Ergebnis von f(1)*f(2)*f(3) ...*f(n-1) dann mal g, dann hast du
g = g *f(n)*...*f(n+k)   jetzt von links mit g^{-1} multipliziert, gibt
e = f(n)*...*f(n+k)          q.e.d.