(x^2-3x) / ( ( x^2-2x-35 ) ln (|x-3|^x) ) Df herleiten und Unstetigkeitsverhalten

Question

(x^2-3x) / ( ( x^2-2x-35 ) ln (|x-3|^x) )

Ich möchte ersteinmal den Definitionsbereich herleiten.

(( x^2-2x-35 ) ln (|x-3|^x)  ≠  0

das ist mein anfang, ich habe nur den nenner ungleich 0 gesetzt. kann mir jemand helfen wie ich weiterkomme?

Answer 1

Du hast im Nenner ein Produkt. Nach dem Satz des Nullprodukts ist ein Produkt dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Beim ersten Faktor kannst du jetzt die Mitternachtsformel verwenden, beim zweiten Faktor musst du überlegen wann der natürliche Logarithmus 0 ist.

LG

Comments

bei der Mitternachts formel hab ich 7 und -5 heraus

und beim 2.faktor ist x=2 damit 0 herauskommt, richtig?

also x ε ℝ / ⟨-5, 0, 7⟩

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x ε ℝ \ {-5, 0, 7}  ist mE in Ordnung. EDIT noch nicht ganz! vgl. unten.

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danke schön.

als nächstes soll ich das unstätigkeitsverhalten an den Rändern von Df überprüfen.Kann mir jemand sagen wie ich da anfangen soll?

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Die Funktion ist auch für x=4 nicht definiert (|4-3| = |2-3|). Die Betragsstriche wirst du los, indem du die Funktion in 2 Abschnitte aufteilst.
Wenn du überprüfen willst, ob eine Funktion stetig fortsetzbar ist überprüfst du den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert der Definitionslücke. Sind diese gleich ist die Funktion stetig fortsetzbar. Bei einer gebrochenen Funktion gibt es allerdings einen wesentlich einfacheren Weg (überleg mal, wann der Grenzwert überhaupt existiert).

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ih147: Danke für den Hinweis. 1^4 und 1^2 ist ja auch 1.

Damit resultiert D = { x| x ε ℝ \ {-5, 0, 7, 4,2} }

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wie kann ich denn rechnerisch zeigen das 0 nicht zum Df gehört.Die anderen habe ich verstanden:

habe mitternachtsformel für den 1.faktor und |x-3|^x = 1 gesetzt für den 2.faktor.

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3^0 = 1 muss man einfach wissen.

Mitternachtsformel geht nur bei quadratischen Gleichungen.

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aber ist denn x^2-2x-35 = 0  nicht eine quadratische gleichung?

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Stimmt. Hatte da was überlesen und nur  |x-3|^x = 1 gesehen.

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ih147 verstehe deinen hinweis "wann der Grenzwert überhaupt existiert" nicht

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Setz die Definitionslücke in den Zähler ein. Wenn 0 rauskommt lautet dein Bruch '0'/'0' und die Funktion ist an der Stelle stetig fortsetzbar.

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ich hab eine allgemeine frage zum vorgehen bei gebrochenen funktionen.

muss ich nicht einfach durch den wert mit der höchsten potenz teilen um danach umzuformen sodass ich lim→∞ laufen lassen kann oder ist das je nach gebrochener funktion anders?