Untersuchen Sie, ob folgendes Integral existiert:

Question

\( \int \limits_{8}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x \)

 
 Hier muss das uneigentliche Integral berechnet werden und geprüft werden, ob es existiert

Answer 1

Berechne erstmal \(\int _8^c \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx\)  für beliebiges \(c\in\mathbb{R}^+\) und überprüfe dann, ob der Grenzwert für \(c\to\infty\) existiert.

Comments

ich weiß halt nicht, wann ein Granzwert existiert. Wie überprüfe ich, ob der Grenzwert existiert?

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Berechne doch erstmal das Integral mit der oberen Grenze \(c\), dann sehen wir weiter.

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Hab ich und da kommt 1.5 × c^2/3- 6 heraus. Wenn ich c dann gegen unendlich streben lasse kommt ebenfalls unendlich raus... 

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Na, siehst du, war doch gar nicht so schwer. ;-)

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Jo danke, also heißt das, dass immer wenn unendlich herauskommt, das Integral nicht existiert?

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Das uneigentliche Integral ist ja ein Grenzwert. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, dann existiert auch das Integral nicht.
Man sagt auch, dass das uneigentliche Integral konvergiert bzw. divergiert.

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Okay danke, dass du dir die Zeit genommen hast und meine Frage beantwortet hast ;)

Hat mit weitergeholfen

Answer 2

Lösung Integral:

3/2 x^{2/3} +C

Nach Bildung des Grenzwertes erhältst Du:

3/2 lim (x-->Unendlich) n^{3/2}

Grenzen 0 bis N

Hier siehst du das das Integral nicht existiert .(konvergiert nicht)

(unendlich ^{3/2} gibt es nicht

Comments

Das heißt, immer wenn unendlich herauskommt, existiert das Integral nicht?