Integral von (x sin x - x^{-1/4})dx für x>0

Question

Hallo :) Wie funktioniert die Berechnung von Integral von (x sin x - x^{-1/4})dx für x>0 genau ? lg !

Answer 1

Zunächst kannst du das Integral in 2 Teilintegrale zerlegen:

 ∫(x*sin x - x^-1/4)dx =  ∫(x*sin x) dx - ∫(x^-1/4)dx

Als erstes: 

∫(x*sin x) dx

Das musst du nach der Regel der partiellen Integration integrieren:

 ∫ f '(x) * g(x) dx = f(x) * g(x) - ∫ f(x) * g '(x) dx 

Setze:

f '(x) = sin x und g(x) = x

woraus folgt:

f (x) = - cos x und g'(x) = 1

Dann ergibt sich:

∫ x * sin x dx = x * (- cos x) -  ∫ 1 ∗ (- cos x) dx = - x * cos x + ∫ cos x dx = - x * cos x + sin x + c

Jetzt noch  ∫ x^-1/4 dx integrieren:

 ∫ x^-1/4 dx = 4/3 * x^3/4 + c

Damit lautet das Ergebnis für das Gesamtintegral:

 ∫(x*sin x - x^-1/4) dx = - x * cos x + sin x - 4/3 * x^3/4 + c

Comments

vielen dank,total verständlich !