Nullstellen einer Funktionsgleichung berechnen

Question

Mahlzeit,

1. Wenn ich eine Funktionsgleichung 5. Gerades als Aufgabe gestellt bekomme und hier die Nullstellen gefordert sind, ist es ja leider nicht möglich, durch Ableiten der Gleichung diese zu berechnen. Wie gehe ich dann vor? Stufe ich die Gleichung mit der Polynomdivision oder dem Horner-Schema so lange herunter, bis ich schließlich die abc-, oder pq-Formel anwenden kann?

2. Gibt es bestimmte Voraussetzungen um das Horner-Schema anwenden zu können? Dieses geht ja nämlich deutlich schneller und ist wesentlich einfacher.

Danke euch :-)

Comments

Prinzipiell sind Hornerschema und Polynomdivision äquivalent.

Beide Verfahren kannst du nur brauchen, wenn es 'offensichtliche' Lösungen gibt.

Wenn das nicht der Fall ist, helfen nur numerische Verfahren wie z.B. das Newton-Verfahren.

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Das Newtonsche-Verfahren haben wir nur kurz angeschnitten und in der kommenden Klausur werden nur Gleichungen mit offensichtlichen Nullstellen gestellt, welche anhand einer einfachen kurzen Wertetabelle zu erschließen sind.

Answer 1

Nullstellen durch Probieren und durch Polynomdivision !

Comments

Also kann ich bis zur möglichen Anwendung der pq-Formel die Polynomdivision verwenden?

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Hast du mal ein Beispiel ??

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Die Nr. i)

Nullpunkt ist bei -2

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-2 stimmt , dann musst du probieren → Du hast jetzt -0,5x^3+x^2+x - 2

Ich habe mal 1,4 probiert , sieht gut aus . Also 1,4 einsetzen  !

- 3,372 + 3,36  fast 0  !! Könnte die Nullstelle 1,4 sein .

Answer 2

Bei deinem Beispiel i) solltest du dich an die Substitution erinnern.

Substituiere z=x^2

dann kommst du sofort auf eine quadratische Gleichung für z.

z1 und z2 berechnen und Rücksubstitution zu x nicht vergessen.

Bei f) direkt x^2 ausklammern. Da hast du eine doppelte Nullstelle x=0  automatisch. Rest ist quadratische Gleichung.

Answer 3

Mahlzeit! :-)

Oft hat man es in der Schulmathematik mit irgendwie "schönen" Zahlen zu tun und man kann, wie hier, die Umformungen bereits mit den Werkzeugenaus der Mittelstufe (Ausklammern, Satz von Vieta, binomische Formeln, ...) erledigen:
$$ \begin{aligned} f(x) &= -0.5x^4+3x^2-4 \\      &= -0.5\cdot \left(x^4-6x^2+8\right) \\      &= -0.5\cdot \left(x^2-2\right)\cdot \left(x^2-4\right) \\      &= -0.5\cdot \left(x-\sqrt{2}\right)\cdot \left(x+\sqrt{2}\right)\cdot \left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right). \end{aligned} $$