Binomialkoeffizienten ausrechnen (n über k) + (n über k+1)

Question

Binomialkoeffizienten ausrechnen:

\( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ k+1\end{array}\right)= \)

Answer 1

der Ansatz:

$$ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}$$

Zusammenrechnen und zeigen, dass

$$ \binom{n+1}{k+1} $$

rauskommt!

Gruß

Comments

ja ok aber ich komm immer noch nicht weiter.. bitte erklär mir einen schritt nach dem andern.. :(

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Du musst zwei Brüche addieren. Um das zu tun, musst du sie zunächst auf den selben Nenner bringen.

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ok hab ich hingekriegt und dann :( gott ich bin so doof..

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Schreib doch mal hier hin, was du jetzt hast.

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Also ich bin igw sehr verwirrt.. :(

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\( (n-k-1)! \cdot (n-k) = (n-k)! \)

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dann muss ich ja aber noch (k+1)! mal machen mit n! über (k!(n-k)!

und da gehts eben nicht weiter..

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$$ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!\left(n-(k+1)\right)!} $$

$$ = \frac{  \mathbf{(k+1)} n! }{  \underbrace{\mathbf{(k+1)} k!}_{=(k+1)!}  (n-k)! }  +  \frac{  \mathbf{(n-k)}n!  }{  (k+1)! \underbrace{\mathbf{(n-k)} (n-k-1)!}_{=(n-k)!}  }$$

$$ =  \frac{  \mathbf{(k+1)} n! }{  \mathbf{(k+1)!}(n-k)! }  +  \frac{  \mathbf{(n-k)}n!  }{  (k+1)! \mathbf{(n-k)!}  }$$

$$ = \frac{  (k+1)n! + (n-k)n!  }{  (k+1)!\underbrace{(n-k)!}_{=((n+1)-(k+1))!}  }$$

$$ = \frac{  n!(k+1+n-k)  }{  (k+1)!\left((n+1)-(k+1)\right)!  } $$

Jetzt bist du wieder dran.