Funktionenschar fa(x) = a(x^3 - 9x^2 + 24x - 16)

Question

Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = a(x³ - 9x² + 24x - 16),  a > 0, x ∈ ℝ

a) Bestimmen Sie die Nullstellen.

b) Eine Ursprungsgerade h schneidet den Graphen von f bei x = 3. Bestimmen Sie die weiteren Schnittpunkte von h und f.

Answer 1

Nullstellen: wegen a>0 gibt es Nullstellen nur für

(x³ - 9x² + 24x - 16)=0 Raten x=1 und dann Polynomdivision durch (x-1)

gibt x^2 - 8x + 16 also nur noch eine weitere Nullst. bei x=4.

Ursprungsgerade y = m*x schneidet bei x= 3

also  3*m = a*2 also m=a*2/3

weitere Schnittpunkte

m*x = a*(x³ - 9x² + 24x - 16)

a*2/3*x = a*(x³ - 9x² + 24x - 16)     | : a

0 = x³ - 9x² + 24x - 16 - 2/3x

0 = x³ - 9x² + 70/3x - 16    bekannt ist x=3 , also Polynomdiv. durch (x-3)

gibt x^2 - 6x + 16/3 = 0 gibt x ungefähr 4,915 und x ungefähr 1,085