In welchem Punkt verläuft die Tangente parallel zur Geraden?

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

In welchem Punkt verläuft die Tangente an den Graphen von f parallel zur Geraden g mit g(x)=2x+1?

Dann sind verschiedene Funktionen angegeben, zum Beipiel: x²+x

Ich habe leider überhaupt gar keine Ahnung, woher ich jetzt den Punkt wissen soll?

Danke schon mal für Antworten.

Grüße.

Answer 1

f(x) = x²+x   Die Steigung der Tangente wird gegeben durch f ' (x) = 2x + 1

und wenn die Tang. parallel zu g(x)=2x+1 sein soll, muss die Steigung m=2 sein,

also ist der Ansatz  f ' (x) = 2

2x + 1 = 2

also x = 1/2 .  Der gesuchte Punkt hat also den x-Wert 1/2 und den y-Wert  f(1/2).

Comments

Wie würde das ganze mit der selben Aufgabenstellung lauten, aber mit der Funktion f(x)=x^3.

Weil da nicht die selbe Steigung vorliegt.

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dann ist f ' (x) = 3x^2

also wird aus   f ' (x) = 2

3x^2 = 2

x^2 = 2/3

                          x = ±wurzel(2/3)   Dann gibt es sogar 2 solche Punkte

Answer 2

Steigung der Tangente an der Stelle \(x\) am Graphen von \(f(x)\) ist doch genau die Ableitung \( f'(x) \). Du suchst also \(x\), so dass

$$ f'(x) = 2 $$

Damit hätte die Tangente die Steigung 2 und wäre parallel zu der Geraden g. Kannst am Ende natürlich noch überprüfen, ob die Tangente echt parallel ist zu g (also nicht dieselbe gerade wie g ist).

Gruß

Answer 3

Ohne Ableitung:

\(p(x)=x^2+x\)       \(g(x)=2x+1\)   →  \(y=2x+n\) geschnitten mit  \(p(x)=x^2+x\):

\(x^2+x=2x+n\)

\(x^2-x=n\)     quadratische Ergänzung:

\(x^2-1x+0,5^2=n+0,5^2\)   2.Binom:

A) \((x-\red{0,5})^2=n+0,25  |± \sqrt{~~} \)

\(x-0,5=± \sqrt{n+0,25} \) Im Fall  \(n+0,25=0  \) liegt Berührung vor.

\(n=- 0,25 \)        Tangente \(y=2x- 0,25\)

Berührpunkt B\((\red{0,5}| 0,75  )\)

Man sieht an Zeile A)  auch, dass die Berührpunktstelle bei \(x=\red{0,5}\) ohne weitere Berechnung liegt.