Bestimmung der kritischen Stelle

Question

f: (0,∞) x (0.∞)→ℝ,  (x,y) ↦ f(x,y) := 6x^{1/2}*y^{1/3}-3x-y

Bestimme die kritische Stelle (x,y) von f.

Mir liegt auch eine Lösung zu der Aufgabe vor, die ich aber nicht komplett nachvollziehen kann.

(x,y) kritisch <=> ∇f(x,y)=(0,0)

<=> x^{-1/2}*y^{1/3}=1 ∧ x^{1/2}*y^{-2/3}=1/2

<=> y^{-1/3}=1/2 ∧ x^{1/2} = y^{1/3}

<=> y^{1/3}=2=x^{1/2} <=> (x,y)=(4,8)

Ich kann die letzten zwei Zeilen nicht nachvollziehen. Wie komme ich darauf?

Answer 1

<=> x^-1/2*y^1/3=1 ∧ x^1/2*y^-2/3=1/2 

       x^-1/2*y^1/3=1    |  :    x^-1/2

                y^1/3=1 :    x^-1/2   

               y^1/3=   x^1/2  

                Das bei der 2. Gleich. einsetzen :

                                         y^1/3 *y^-2/3=1/2

                                                y^-1/3 =1/2

Also tatsächlich:

<=> y^-1/3=1/2           ∧ x^1/2 = y^1/3

 neg. Exponent entspricht Kehrwert:       y^-1/3=1/2    <=>      y^1/3=2

<=> y^1/3=2=x^1/2     (s.o. rot )  <=>   2=x^1/2    <=>     x=4   

                                                            y^1/3=2     | hoch 3

                                                              y = 8

Also wirklich:

  (x,y)=(4,8)

Ich kann die letzten zwei Zeilen nicht nachvollziehen. Wie komme ich darauf?

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Vielen, vielen Dank für die super ausführliche Antwort. Kann das Ganze jetzt nachvollziehen!

Answer 2

$$  f(x,y) = 6x^{\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3x-y  $$
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial  x} = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3 $$
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial y} = 6x^{\frac 12} \cdot ( -\frac 32) y^{-\frac 23}-1  $$
partielle Ableitungen Nullsetzen:
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial  x} =0 $$
$$  \frac { \partial  \, f(x,y)}{ \partial y} = 0 $$

$$  0 = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3 $$
$$ 0= -9x^{\frac 12} \cdot  y^{-\frac 23}-1  $$

$$  3 = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13} $$
$$ 1= -9x^{\frac 12} \cdot  y^{-\frac 23} $$

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Danke auch für deine Mühe.

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keine Ursache - habe mich ohnehin vertan ...