Bestimmung der kritischen Stelle

Question

f: (0,∞) x (0.∞)→ℝ,  (x,y) ↦ f(x,y) := 6x^1/2*y^1/3-3x-y

Bestimme die kritische Stelle (x,y) von f.

Mir liegt auch eine Lösung zu der Aufgabe vor, die ich aber nicht komplett nachvollziehen kann.

(x,y) kritisch <=> ∇f(x,y)=(0,0)

<=> x^-1/2*y^1/3=1 ∧ x^1/2*y^-2/3=1/2

<=> y^-1/3=1/2 ∧ x^1/2 = y^1/3

<=> y^1/3=2=x^1/2 <=> (x,y)=(4,8)

Ich kann die letzten zwei Zeilen nicht nachvollziehen. Wie komme ich darauf?

Answer 1

<=> x^-1/2*y^1/3=1 ∧ x^1/2*y^-2/3=1/2

x^-1/2*y^1/3=1    |  :    x^-1/2

y^1/3=1 :    x^-1/2   

y^1/3=   x^1/2  

Das bei der 2. Gleich. einsetzen :

y^1/3 *y^-2/3=1/2

y^-1/3 =1/2

Also tatsächlich:

<=> y^-1/3=1/2           ∧ x^1/2 = y^1/3

neg. Exponent entspricht Kehrwert:       y^-1/3=1/2    <=>      y^1/3=2

<=> y^1/3=2=x^1/2     (s.o. rot )  <=>   2=x^1/2    <=>     x=4

y^1/3=2     | hoch 3

y = 8

Also wirklich:

  (x,y)=(4,8)

Ich kann die letzten zwei Zeilen nicht nachvollziehen. Wie komme ich darauf?

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Vielen, vielen Dank für die super ausführliche Antwort. Kann das Ganze jetzt nachvollziehen!

Answer 2

$$f(x,y) = 6x^{\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3x-y$$
$$\frac { \partial \, f(x,y)}{ \partial x} = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3$$
$$\frac { \partial \, f(x,y)}{ \partial y} = 6x^{\frac 12} \cdot ( -\frac 32) y^{-\frac 23}-1$$
partielle Ableitungen Nullsetzen:
$$\frac { \partial \, f(x,y)}{ \partial x} =0$$
$$\frac { \partial \, f(x,y)}{ \partial y} = 0$$

$$0 = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13}-3$$
$$0= -9x^{\frac 12} \cdot y^{-\frac 23}-1$$

$$3 = 3x^{-\frac 12} \cdot y^{\frac 13}$$
$$1= -9x^{\frac 12} \cdot y^{-\frac 23}$$

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Danke auch für deine Mühe.

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keine Ursache - habe mich ohnehin vertan ...