Steckbriefaufgabe, Bestimme die e-Funktion, Kettenlinie

Question

Hallo
Könnt ihr mir bitte bei dieser Umkehraufgabe helfen:

Storebaeltbrücke
Zwischen 2 Pylonen, die 254 m aus dem Wasser ragen wird eine Brücke auf Tragseilen mit einer Spannweite von 1624m errichtet. Die Tragseile haben die Funktionsgleichung

y = c* (e^ax + e^ –ax); Bestimme a und c bei einem Seildurchhang von 168 m.

Abbildung:

Die Storebælt-Brücke mit Koordinatensystem – © HOCHTIEF AG
Quelle: http://www.mathematik.de/ger/information/wasistmathematik/bruecke.html

Punkte: P (812/254):   254  =  c *(e^812a + e^ (-812)a);    c = 254 / (e^812a + e^ (-812)a)

Punkt Q: ( 0 / 168)  mit c :    168  =   254 / (e^812a + e^ (-812)a)   *  e^a*0  + e ^{-1*0}
 
                                              168  =   254 / (e^812a + e^ (-812)a) *2
                                                3,02380  = (e^812a + e^ (-812)a)
Wenn ich jetzt mit dem ln arbeite, fällt mir die Variable a weg; kann mir da bitte jemand weiterhelfen. Danke .

Answer 1

Zunächst könnte man unter durchhang verstehen um wieviel Meter die Trageseite durchhängen. Dann komme ich auf den tiefsten Punkt von:

Q(0 | 254 - 168) = Q(0 | 86)

Damit könnte ich c schon berechnen.

c = 1/2 * (254 - 168) = 43

43·(e^{a·812} + e^{–·a·812}) = 254

a findet man jetzt mit einem Näherungsverfahren zu a = 0.002150440439

f(x) = 43·(e^{0.002150440439·x} + e^{-0.002150440439·x})

Ich mache noch eine Skizze

Comments

Hallo

 

vielen lieben Dank für die Lösung und die Skizze; Kannst du mir bitte sagen, warum man für die Variable c die Hälfte nehmen muß ?

Das Beispiel geht noch weiter; Falls man den Ansatz nicht hat, soll man mit c = 45 und a = 0,00198 weiterrechnen - das muss jedoch nicht die richtige Lösung sein.

 

Fortsetzung Beispiel:

Durch das Anbringen der Fahrbahn wird die Kettenlinie zu einer Parabel. Dabei senkt sich der niedrigste Punkt der Seile um 9m. Berechne die Funktionsgleichung dieser Parabel:

Mein Ergebnis wäre:   y =  0,0014x²+159    mit der Höhe 168 - 9, oder muss ich? 

 jetzt P (0/43) nehmen.

Fortsetzung Beispiel:

Die Kettenlinie lässt sich auch als als Polynomfunktion vom Typ

y = a₀ + a₁x + a₂x²+a₃x³ + a₄x⁴ darstellen. Welche Koeffizienten können von vornherein als Null angesehen werden und warum ?

Da Symmetrie gegeben - nur positive Hochzahlen: also y = a₀ + a₂x²+a₄x⁴   - Stimmt das ?

Dank im Voraus.

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vielen lieben Dank für die Lösung und die Skizze; Kannst du mir bitte sagen, warum man für die Variable c die Hälfte nehmen muß ?

Rechne mal mit 

f(x) = c·(e^{a·x} + e^{- a·x})

Und bestimme jetzt mal den wert an der Stelle 0.

f(0) = c·(e^{0} + e^{0}) = c·(1 + 1) = 2·c

Da hier genau 2c heraus kommt muss c also die Hälfte des y-Achsenabschnitts sein.

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Durch das Anbringen der Fahrbahn wird die Kettenlinie zu einer Parabel. Dabei senkt sich der niedrigste Punkt der Seile um 9m. Berechne die Funktionsgleichung dieser Parabel:

Q(0 | 86)

Der Tiefste Punkt verändert sich von Q(0 | 86) auf Q2(0 | 77). Dieses muss der neue Scheitelpunkt sein.

 

Was die Symmetrie anbelangt hast du recht. Man behält nur noch die geraden Exponenten von x so wie du es gemacht hast.

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Lieber Mathecoach

 

Vielen vielen Dank für alles - es ist einfach toll und alles geklärt.

Eine schöne Nacht

 

Liebe Grüße

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auch wenn das Thema schon etwas älter ist, interessiert mich die Lösung von Der_Mathecoach zum  Faktor a.

Wie genau sieht hier das Näherungsverfahren für den Faktor a aus, um den Faktor zu bestimmen ?

Stehe nämlich vor einem ganz ähnlichen Problem.

Danke schonmal !!

Grüße :)

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Eigentlich braucht man nicht mal ein Näherungsverfahren.

43·(e^{a·812} + e^{- a·812}) = 254

43·(e^{a·812} + 1/e^{a·812}) = 254

Subst z = e^{a·812}

43·(z + 1/z) = 254

z + 1/z = 254/43

z - 254/43 + 1/z = 0

z^2 - 254/43*z + 1 = 0

z = 0.1744429309 ∨ z = 5.732533813

e^{a·812} = 0.1744429309 --> a = -0.002150440436

e^{a·812} = 5.732533813 --> a = 0.002150440436

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Super !

Ich hatte was mit der Newton Näherung versucht, deine Lösung ist da aber deutlich einfacher !

Besten Dank !