Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen x E R der folgenden Gleichungen: -x^2 - 4x = |x+2| + 2

Question

Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen x E R der folgenden Gleichungen.

$$-{ x }^{ 2 }-4x\quad =\quad \left| x+2 \right| +2$$

Kann mir jemand erklären wie ich bei so einer Aufgabe vorgehen muss?

Answer 1

Im Prinzip musst du 2 Fälle unterscheiden:

1. x≥-2  Dann einfach die Beträge weglassen

2. x<2   Dann erhältst du -(x+2)

Beide Fälle dann nach x auflösen.

LG

Answer 2

Fallunterscheidung 

1 )  -x²- 4x-2  =  x+2 

2)  -x² -4x-2  =  -x- 2  

Comments

lasse ich die "+2" am Ende weg?

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+2 ist durch |-2 

sozusagen nach links gewandert.

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Ach ja stimmt.
Und kannst du meine bitte überprüfen?:

Ich habe in Fall 1)  für x1=-1 und x2 = -4 Fall 2) x1 = 0 und x2 = -3

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sorry hast du ja schon danke dir habs nichts gesehen

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Da hast du richtig gerechnet. Du musst aber noch x = -4 und x=0 aussscheiden aus der Lösungsmenge, da sie den Fallvoraussetzungen nicht genügen. Vgl. meine Antwort.

Alternative: Alle 4 Lösungen in der ursprünglichen Gleichung einsetzen und diejenigen ausscheiden, die nicht stimmen. 

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Warum betrachten wir in Fall 1? Also warum muss x größer als -2 sein?

x≥ -2

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hj344: Du willst ja (vielleicht) den Betrag aus der Umformung rausbringen. Das geht, wenn du 2 Fälle unterscheidest:

x+2 ≥ 0 und x+2<0. 

Löse beide Ungleichungen nach x auf und du hast die nötige Unterscheidung.

Answer 3

 -x^2 - 4x = |x+2| + 2

1. Fall x≥ -2

 -x^2 - 4x = x+2 + 2

0 = x^2 + 4x + x + 4

0 = x^2 + 5x + 4 

0 = (x+1)(x+4)

---> x1  = -1 und x2 = -4 

x1 = -1 grösser als -2 und daher die erste Lösung der gegebenen Gleichung. x2 musst du streichen.

2. Fall x<-2

 -x^2 - 4x = -(x+2) + 2

0 = x^2 + 4x - x 

0 = x^2 + 3x       |faktorisieren

0 = x(x+3)

x1 = 0 und x2 = -3

x2 = -3 ist die zweite Lösung der gegebenen Gleichung. x1 musst du streichen.

L={ -3, -1}