Untersuchen Sie die zugehörige lineare Abbildung ((6,-1),(-1,6)) auf Surjektivität und Injektivität.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die zugehörige lineare Abbildung \( f_{C}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit

\( f_{C}(x)=C x \)

auf Injektivität und Surjektivität.

Ansatz/Problem:

2x2 Matrix: $$\begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$$

Answer 1

- Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix \( A \in K^{m \times n} \) vollen Spaltenrang hat: \( rang(A) = n \)

- Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix \( A \in K^{m \times n} \) vollen Zeilenrang hat: \( rang(A) = m \)

- Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildungsmatrix \( A \in K^{m \times n} \) quadratisch ist (\( m = n \)) und vollen Rang hat: \( rang(A) = m = n \).

Comments

Könntest du mir das anhand dieses Beispiels zeigen, damit ich einen ordentlichen Ansatz habe?

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Welchen Zeilenrang und welchen Spaltenrang hat deine Matrix. Das solltest du mit dem Gauss-Verfahren bestimmen können. Da sowohl die Zeilen als auch die Spalten linear unabhängig sind, kann man auch gleich den Rang direkt angeben. Und was bedeutet es wenn man vollen Zeilen- und Spaltenrang hat.