Entfernung x zu einem unzugänglichen Turm im Gelände bestimmen (Trigonometrie)

Question

Man kann die Entfernung x zu einem unzugänglichen Turm im Gelände auch mithilfe des Höhenwinkelmessers bestimmen. Man wählt 2 Messpunkte A und B in einer Linie mit dem Fußpunkt des Turms. Anschließend misst man von beiden Punkten aus den Höhenwinkel zur Spitze des Objekts und die Entfernung der Punkte A und B. Berechne die Entfernung x zum Turm.

 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Der Kosinus, Sinus und der Tangens

Stichworte: sinus,tangens,kosinus

Man kann die Entfernung zu einem Turm und dessen Höhe in unzugänglichen Gelände bestimmen, indem man von zwei Punkten mit bekanntem Abstand ausgehend die Höhenwinkel zur Spitze des Turmes misst. Bestimme mithilfe der Angaben in der Figur die Höhe des Turmes und die Länge der Strecke x.

Text erkannt:

ences \( x=-\frac{1}{1} \cdot \frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{1+2} \)
\( \frac{1}{1}+\frac{1}{11}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{2}=\frac{1}{40}=\frac{2}{2} \)
\( \frac{-25^{\circ}}{k^{11}}+\frac{2^{3}}{14 m} \)

Answer 1

Zuerst ergänzt du die fehlenden Winkel:

1. 180° - 40° = 140° (an Punkt B, gestreckter Winkel ist 180°)

2. 180° = 25° + 140° + 15° (Innenwinkelsummensatz)

3. 180° = 40° + 90° + 50° (Innenwinkelsummensatz)

Anschließend berechnest du über den Sinussatz die Strecke BC:

Jetzt weißt du, dass BC ≈ 22,86 m lang ist.

Da das kleine Dreieck rechtwinklig ist, können wir jetzt die Strecke BC als Hypotenuse nutzen und mittels Kosinus die Länge x berechnen:

cos(40°) = AK / HY

cos(40°) = x / 22,86 m     |* 22,86 m

cos(40°) * 22,86 m = x

x = cos(40°) * 22,86 m

x ≈ 17,5118 m

Solltest du dich mit Sinus und Kosinus noch nicht auskennen, siehe:

Und hier findest du wesentliche Informationen über den Sinussatz und den Kosinussatz, nutze auch die Programme dort, um weitere Aufgaben zu lösen:

https://www.matheretter.de/wiki/kosinussatz

Answer 2

Hi,

Die Höhe des Turms kann beschrieben werden mit

tan(25)=h/(14+x)

oder durch

tan(40)=h/x

 

Nach h auflösen und gleichsetzen:

(14+x)tan(25)=xtan(40)

14tan(25)+xtan(25)=xtan(40)   |-xtan(40)-14tan(25)

x(tan(25)-tan(40))=-14tan(25)

x=-14tan(25)/(tan(25)-tan(40))≈17,51

 

Die Entfernung vom Turm zu B ist also x≈17,51 m.

(ungefragter Zusatz: Der Turm ist etwa 14,7 m hoch)

 

Grüße

 

Nachtrag: Falsche Rechnung mit sin verbessert durch Ersetzung mit tan.

Comments

Ich fand deinen Ansatz "nur über Sinus" recht gut, warum hast du nicht einfach die Rechnung korrigiert?

---

Ob nur über Sinus oder Tangens ist ja gleicher Aufwand.

Die Verbesserung zum Tangens war aber weniger Aufwand für mich :D.

Answer 3

Aloha :)

$$\tan40^o=\frac{h}{x}\quad\Rightarrow\quad h=x\,\tan40^o$$$$\tan25^o=\frac{h}{x+14}\quad\Rightarrow\quad h=(x+14)\,\tan25^o$$Wir setzeh die beiden rechten Seiten gleich:

$$\left.(x+14)\tan25^o=x\,\tan40^o\quad\right|\;\text{links ausrechnen}$$$$\left.x\tan25^o+14\tan25^o=x\,\tan40^o\quad\right|\;-x\tan25^o$$$$\left.14\tan25^o=x\,\tan40^o-x\tan25^o\quad\right|\;x\text{ rechts ausklammern}$$$$\left.14\tan25^o=x(\tan40^o-\tan25^o)\quad\right|\;:(\tan40^o-\tan25^o)$$$$\left.x=\frac{14\tan25^o}{\tan40^o-\tan25^o}\quad\right|\;\text{Taschenrechner}$$$$x=17,5119\,m$$$$h=x\,\tan40^o=14,6943\,m$$

Answer 4

Geradengleichung durch A und C:

\(\frac{y-0}{x+14}=\tan(25°)\)

\(y=\tan(25°)(x+14)\)

Geradengleichung durch B und C:

\(y=\tan(40°)\cdot x\)

Gleichsetzen:

\(\tan(40°)\cdot x=\tan(25°)(x+14)\)

\(x≈17,51\)m