Steckbriefaufgabe: Polynomfunktion 3.Grades mit Hochpunkt H(3|5) und einen Wendepunkt W(4|4)

Question

ich habe zwei punkte gegeben einen Hochpunkt H(3|5) und einen Wendepunkt W(4|4) und ich soll eine Polynomfunktion 3.Grades aufstellen, wie komme ich denn jetzt auf diese? :)

Answer 1

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

f''(x) = 6·a·x + 2·b

f(3) = 5 --> 27·a + 9·b + 3·c + d = 5

f'(3) = 0 --> 27·a + 6·b + c = 0

f(4) = 4 --> 64·a + 16·b + 4·c + d = 4

f''(4) = 0 --> 24·a + 2·b = 0

Löse das LGS. Kontroll-Lösung: a = 0.5 ∧ b = -6 ∧ c = 22.5 ∧ d = -22

f(x) = 0.5·x^3 - 6·x^2 + 22.5·x - 22

Answer 2

"Ich habe zwei Punkte gegeben einen Hochpunkt H(3|5) und einen Wendepunkt W(4|4) und ich soll eine Polynomfunktion 3.Grades aufstellen, wie komme ich denn jetzt auf diese? "

Lösung über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

Ich verschiebe den Graph um 5 Einheiten nach unten → H´(3|0) :   doppelte Nullstelle und W´(4|-1)

f(x)=a*(x-3)^2*(x-N)

W´(4|-1)

f(4)=a*(4-3)^2*(4-N)=a*(4-N)

1.) a*(N-4)=1   →   a=\( \frac{1}{N-4} \)

f(x)=\( \frac{1}{N-4} \)*[(x-3)^2*(x-N)]

f´(x)=\( \frac{1}{N-4} \)*[2*(x-3)*(x-N)+(x-3)^2]=\( \frac{1}{N-4} \)*[(2x-6)*(x-N)+(x-3)^2]

Wendepunkteigenschaft benützen:

f´´(x)=\( \frac{1}{N-4} \)*[2*(x-N)+(2x-6)+2*(x-3)]

f´´(4)=\( \frac{1}{N-4} \)*[2*(4-N)+(2*4-6)+2*(4-3)]

2.)\( \frac{1}{N-4} \)*[2*(4-N)+(2*4-6)+2*(4-3)]=0

[8-2N+4]=0

N=6       a=\( \frac{1}{6-4} \)=\( \frac{1}{2} \)

f(x)=\( \frac{1}{2} \)*(x-3)^2*(x-6)

und nun wieder 5 Einheiten nach ober verschieben:

p(x)=\( \frac{1}{2} \)*(x-3)^2*(x-6)+5