gegeben sei die funktion f(x)=x+e^−1/2x+1

Question

a) bestimmen sie die schnittpunkte mit den koordinatenachsen, die extrema und wendepunkte von f.
b)zeichnen sie den graphen von f 
c)wo schneidet die wendetangente die koordinatenachsen? 
d)schließen sie von der gestalt von f,f′ und f′′ auf die gestalt einer stammfunktion F und f. überprüfen sie dann deren richtigkeit durch differentiation. 
Bestimmen sie den inhalt der fläche, die vom graphen von f, der x-achse und der geraden x=4 eingeschlossen wird. 
e)die punkte A(40),B(x0), und C(xf(x)) bilden 0<x<4 ein dreieck. 
Für welchen x-wert hat dieses dreieck maximalen inhalt?

Comments

Meinst du

$$ f(x) = x + e^{-\frac{1}{2}x}+1 $$

?

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Ja genau

ich wusste nicht wie ich das eingebe

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Die Funktion hat dann keinen Wendepunkt warum c) hinfällig ist. Hast du die Funktion wirklich richtig notiert. Ich würde das momentan bezweifeln.

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a) bestimmen sie die schnittpunkte mit den koordinatenachsen, die extrema

ich habe ein ganz andere Frage.
Wie hast du das blau in deiner Frage hinbekommen ?
Mir stehen 9 Farben zur Verfügung ( siehe oben ) aber
das blau ist nicht dabei.

Die Ableitungen habe ich auch so ,aber ich komme nicht mehr
weiter wenn ich die Ableitungen gleich null einsetze 

ich komme einfach nicht weiter :(

Der Funktionswert der e-Funktion ist immer positiv:
Ein Produkt ist dann null wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist.

f(x) = x·e^{- 0.5·x + 1}
x·e^{- 0.5·x + 1} = 0  => x = 0

f'(x) = e^{- 0.5·x + 1}·(1 - 0.5·x)
e^{- 0.5·x + 1}·(1 - 0.5·x)  = 0
1 - 0.5 x = 0
x = 2

f''(x) = e^{- 0.5·x + 1}·(0.25·x - 1)
e^{- 0.5·x + 1}·(0.25·x - 1)  = 0
0.25 x - 1 = 0
x = 4

mfg Georg

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und was muss ich bei Aufgabe c machen ?

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Andere Farben bekommt man hin indem man mit cut und paste Texte hier in den Editor reinkopiert. Such dir dann nur einen Editor der mehr Farben zur Auswahl hat.

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und was muss ich bei Aufgabe c machen ?

Bei c) musst du zunächst die Wendetangente bestimmen. Die Tangente an der Stelle a bestimmt man über

y = f'(a) * (x - a) + f(a)

Hast du die Tangentengleichung bildest du auch den Y-Achsenabschnitt und die Nullstelle.

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die Wendetangente lautet mx+b

m= -1,5

b= 7,5

ist das richtig ?

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und wie bilde ich die stammfunktion ?

ich komme nicht darauf wie ich es machen solle bzw. hab den Ansatz :/

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Nein. Das kann ich mit bloßem Auge an der Skizze erkennen das das nicht sein kann.

Zeichne dir mal in deine Skizze eine Tangente im Wendepunkt ein. So ungefähr kann man das dann ablesen. Wenn du rechnerisch etwas raus hast was absolut abweicht, kann die Rechnung nicht stimmen.

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Du sollst nicht integrieren sondern Anhand der bisherigen Ableitungen ein System erkennen und eine Stammfunktion vermuten.

Wenn dir das zu schwer ist vermute den allgemeinen Term

F(x) = e^{- 0.5·x + 1}·(ax + b)

Leite diesen allgemeinen Term ab und finde a und b über einen Vergleich von F'(x) mit f(x) heraus.

Also wie sind a und b zu wählen damit F'(x) = f(x) gilt.

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meine Tangente verkauft genau durch den WP ich schreibe jetzt paar Punkte auf :

(4 / 1,5) (5 / 0) (3,5 / 2,25) (3 / 3) (5,5 / -0,75)

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die letzte Aufgabe fehlt mir noch :/

Answer 1

Ist f(x) = x + e^{- 1/2·x} + 1 oder f(x) = x + e^{- 1/2·x + 1}

Ich würde das 2. sagen.

f(x) = x + e^{- 1/2·x} + 1
f'(x) = 1 - 0.5·e^{- 0.5·x}
f''(x) = 0.25·e^{- 0.5·x}

a)

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 2

Nullstellen f(x) = 0

Keine

Extrempunkte f'(x) = 0

1 - 0.5·e^{- 0.5·x} = 0 --> x = - 2·LN(2) = -1.386

f(- 2·LN(2)) = 3 - 2·LN(2) = 1.614 --> Tiefpunkt (-1.386 | 1.614)

Wendepunkte f''(x) = 0

0.25·e^{- 0.5·x} = 0

Keine

c)

Da ich keine Wendetangente habe gehe ich davon aus das du die Aufgabe falsch gestellt hast.

Comments

Mir ist es gerade aufgefallen ,dass ich die Funktion tatsächlich falsch geschrieben haben -.-

Die richtige lautet : x*e^-1/2x+1  ( und die 1 gehört zu dem Bruch )

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also f(x) = x·e^{- 0.5·x} + 1 oder die 1 mit in den Exponenten ?

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Gast das kann immer noch nicht stimmen. Jetzt hast du ja nur noch ein x in der Funktionsgleichung.

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ja genau die 1 mit den Exponenten

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Was lernen wir daraus?

Wie sollen Schüler solche Aufgaben überhaupt lösen können, wenn sie es nicht mal schaffen eine Funktionsgleichung in 2 Versuchen fehlerfrei zu notieren :(

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ja ich weiß , es tut mir auch leid :(

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f(x) = x·e^{- 0.5·x + 1}

f'(x) = e^{- 0.5·x + 1}·(1 - 0.5·x)

f''(x) = e^{- 0.5·x + 1}·(0.25·x - 1)

Dann probier mal selber a) und b) zu lösen. Zu a) hast du ja oben eine Vorgehensweise wo die Ansätze erkennbar sind was zu tun ist.

Der Graph sollte wie folgt aussehen. Vergleiche auch deine Ergebnisse aus a) mit dem Graphen.

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Die Ableitungen habe ich auch so ,aber ich komme nicht mehr weiter wenn ich die Ableitungen gleich null einsetze

ich komme einfach nicht weiter :(

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Benutze den Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt wird null wenn mind. einer der Faktoren null wird. Zusätzlich darf man wissen, dass die e-Funktion nie null wird.

Answer 2

f(x) = x·e^{- 0.5·x + 1}
f'(x) = e^{- 0.5·x + 1}·(1 - 0.5·x)

Wendepunkt x = 4
f ( 4 ) = 4 * e^{-0.5*4+1} = 4 / e
Steigung im Wendepunkt
f ' ( 4 ) = e^{- 0.5·4 + 1}·(1 - 0.5·4)  = -1 / e

Tangentengleichung
y = m * x + b
4 / e = -1 /e * 4 + b
b  = 8 / e

y = -1 / e * x  +  8 / e

blau ist die Funktion
rot ist meine Tangente
grün ist deine Funktion

Comments

Ist mttlerweile alles geklärt
oder
wo fehlt dir noch etwas ?

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Vielen Dank !!

Aufgabe e fehlt mir auch noch :/

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e)die punkte A(40),B(x0), und C(xf(x)) bilden 0<x<4 ein dreieck. 
Für welchen x-wert hat dieses dreieck maximalen inhalt?

Die Koordinaten der Punkte sind unleserlich dargestellt.

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A ( 4 / 0)  B ( x / 0) C ( x / f(x) )

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Hier meine Berechnungen

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muss man nicht 1/2 mit der klammer  multiplizieren ?

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( 1 / 2 ) * a * ( term ) = 0

Welcher von den 3 Faktoren kann nur 0 werden damit das Produkt 0 wird ?

Ansonsten kannst du deinen Vorschlag einmal ausprobieren.
Das Ergebnis ist dasselbe.