n-te Ableitung von f(x)=1/x per Induktion beweisen

Question

Also mein Problem ist der Beweis von der  n-te Ableitung von f(x)=1/x per Induktion.

Also die Behauptung ist, das diese n-te Ableitung davon

f^{n} = ((-1)^n*n!)/x^{n+1} sei.

Wie kommt man darauf?

Answer 1

f(x) = 1/x = x^{-1}

f¹(x) = -1x^{-2}

Induktionsanfang: n = 1

f¹(x) = (-1)^1·1!/x^{1 + 1} = -1/x^2 = -x^{-2} --> stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1

fⁿ⁺¹(x) = (fⁿ(x))'

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{[n + 1] + 1} = ((-1)^n·n!/x^{n + 1})' = ((-1)^n·n!·x^{-[n + 1]})'

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2} = (-1)^n·n!·(-[n + 1])·x^{-[n + 1] - 1}

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2} = (-1)^{n + 1}·(n + 1)!·x^{-n - 2}

(-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2} = (-1)^{n + 1}·(n + 1)!/x^{n + 2}

Comments

Danke schonmal für die Antwort.

Mir ist nicht klar wie man von

(-1)^n*n!*(-[n+1])*x^{[n+1]-1} zu

(-1)^{n+1} * (n+1)!*x^{-n-2} kommt.

also besonders der term vor dem x das x^{[n+1]-1} zu x^{-n-2} wird ist klar.

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Schau dir Terme mal richtig an

(-1)^{n} * n! * (-[n + 1]) * x^{-[n + 1] - 1}

= (-1)^{n} * n! * (-1) * (n + 1) * x^{-n - 1 - 1}

= (-1)^{n} * (-1) * n! * (n + 1) * x^{-n - 2}

= (-1)^{n + 1} * (n + 1)! * x^{-[n + 2]}

Wenn du etwas nicht verstehst schreib mal genau was du nicht verstehst. Da sind ja mehrere Umformungen drin.

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Super jetzt habe ich es geblickt,

mein Problem war das ich nicht gesehen habe das n!*(n+1) = (n+1)!

Ich habe das ausmultipliert und das sah dann nicht richtig aus, kannst du mal zeigen wie man das durch ausmultiplizieren umformen kann?

Danke.

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n! * (n + 1)

Wir schreiben das mal als Kette auf mit n! = 1 * 2 * 3 * ... * n

1 * 2 * 3 * ... * n * (n + 1)

Jetzt sehen wir das wir das auch als

(n + 1)! schreiben können.

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Super danke,

das leuchtet ein. Das es immer diese einfachen Algebra Sachen sind an denen man dann scheitert, das ist echt peinlich.

Grosses Lob an deine schnelle professionelle Hilfe.