Question

Grenzwert einer Folge mit Wurzel bestimmen:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+n-1}{\sqrt{5 n^{4}-20 n^{3}+3}} \)

Ansatz/Problem:

Ich habe mir eigentlich nur den ersten Teil der Wurzel (5n^4) angeschaut und hiervon die Wurzel gezogen. Dann erhalte ich √5 *n^2. Jetzt habe ich ja im Nenner und Zähler den gleichen, höchsten Exponenten. Kann ich dann einfach sagen, dass der Grenzwert 1/√5 ist oder mache ich es mir gerade zu einfach?

Comments

Na, falsch ist das nicht. Ob der Aufgabensteller diese Begründung oder eine andere wollte, weiß ich natürlich nicht.

Answer 1

Das machst du schon richtig. Formal würde ich das wie folgt schreiben.

(n^2 + n - 1)/√(5·n^4 - 20·n^3 + 3)

= n^2·(1 + 1/n - 1/n^2)/(n^2·√(5 - 20/n + 3/n^4))

= (1 + 1/n - 1/n^2)/√(5 - 20/n + 3/n^4)

Grenzwert n --> ∞

= 1/√5

Answer 2

Du klammerst n^2 im Zähler und Nenner aus und kürzt.

Die restlichen Terme gehen gegen 0. Dein Ergebnis stimmt.