gemeinsame Punkte bestimmen/ Berührpunkte

Question

Ich habe zwei Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme.

1. Gegeben sind die Funktionen f(x)=2/x² und g(x)=1-(1/8)*x²

Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte von f und g.

Ich würde sagen, da muss ich gleichsetzen, also hätte ich dann:

2/x²=1-(1/8)*x²

und dann weiß ich nicht, wie ich dann weiter machen muss um auf x zu kommen?

2. Gegeben ist die Funktion f(x)=4/x² Wie muss die Funktion g(x)=-(1/4)*x² längs der y- Achse verschoben werden, damit sich die Grahen von f und g berühren? Wo liegen die Berührpunkte und wie lauten die gemeinsamen Tangenten?

Ich habe keine Ahnung, was ich machen muss?

Es wäre wirklich sehr nett, wenn ihr mir zumindest schon mal bei einer der Aufgaben helfen könntet.

und danke schon mal.

Answer 1

Also zu 1)

Ich würde erstmal beide Seiten mit x^2 multiplizieren. Dann erhältst du

2=x^2-1/8*x^4. Alles auf eine Seite gebracht ergibt sich -1/8x^4+x^2-2=0.

Das ist eine biquadratische Gleichung die sich mit einem entsprechenden Substitutionsverfahren lösen lassen sollte.

Comments

Was meinst du mit Substitutionsverfahren?

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Also du substituierst x^2 gegen z, also tauschst es aus.

Dann bekommst du: -1/8z^2+z-2=0. Daraus ergibt sich z^2-8z+16=0

Mit pq-Formel kann dann auflösen und bekommt 4. Dies muss man dann wieder einsetzen in die Gleichung

z=x^2. Dann bekommt man x=2 und x=-2.

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Schonmal als Hinweis, die zweite Aufgabe funktioniert so, dass bei Berührpunkten die Steigung gleich sein muss, als die Ableitungen gleich sein müssen. Also beide Funktionen ableiten und gleichsetzen.

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Falls du im weiteren Probleme hast. Es ergeben sich die folgenden Ableitungen:

f'(x)=-8/x^3 und g'(x)=-1/2x. Diese gleich gesetzt und aufgelöst ergibt 16=x^4. Daraus bekommt man x=2 und x=-2. Diese beiden Lösungen müssen in beide Funktionen eingesetzt werden. Man bekommt f(2)=1 und g(2)=-1. Die Differenz ist 2. D.h. man muss die Funktion g um 2 nach oben verschieben, also bekommt man g(x)=-1/4x^2+2.