Eigenwert bestimmen von ebener Drehmatrix.

Question

Ich sollte folgenden Eigenwert bestimmen:

\( A=\left(\begin{array}{cc}{\cos (\phi)} & {-\sin (\phi)} \\ {\sin (\phi)} & {\cos (\phi)}\end{array}\right) \)

bei der Determinante komme ich dann auf λ² - 2 λcos(φ) + cos(φ)^2 + sin(φ)^2

wie mache ich nun hier weiter?

Answer 1

sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Trigonometrischer Pythagoras.

EDIT: Stimmt die Determinante?

Dann vielleicht so:

λ² - 2 cos(φ) λ + 1 = 0

k = 1/2  (2cos(x) ±√(4cos^2(x) - 4))

= 1/2 (2cos(x) ± 2 |sin(x)|)      | Annahme x zwischen 0° und 180°.

= cos(x) ± sin(x)

EDIT: Fehler gefunden.

k = 1/2  (2cos(x) ±√(4cos^2(x) - 4))

= 1/2 (2cos(x) ± 2 √( - (1-cos^2(x))     

= 1/2 (2cos(x) ± 2 √( - sin^2(x))     

Geht nur mit sin(x) = 0 also x = 0°, 180°, 360°,...

Nun macht die Interpretation unten in meinem Kommentar mehr Sinn!

Comments

Danke,

Aso sind die Eigenwerte cos(φ) + sin(φ) und cos(φ) - sin(φ)?


was ich verergessen habe zu erwähnen, ist dass ich noch den Eigenraum bestimmen sollte, wie mache ich das nun?

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Bitte.

Ich traue der Geschichte nicht so ganz.

Das ist doch die allgemeine Drehmatrix für den Drehwinkel phi. https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrix_der_Ebene_R.C2.B2

https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrix_der_Ebene_R.C2.B2

Richtungen bleiben nur erhalten, wenn phi 180° oder 360° beträgt.

Da sollten eigentlich nur die Eigenwerte ± 1 vorkommen können und beide haben ganz R^2 als Eigenraum.

EDIT: Fehler oben blau korrigiert.

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Möglicherweise sind hier auch die komplexen Eigenwerte \(\lambda_{1;2}=\cos\varphi\pm i\sin\varphi\) gemeint?

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Das glaube ich nicht.

k = ± 1 (so wie's rauskommt in der Antwort oben) ist vernünftiger.

Ich sehe in der Fragestellung kein Anzeichen dafür, dass hier mit komplexen Eigenvektoren zu rechnen wäre.

Aber du kennst dein Aufgabenblatt und den Kontext aus der Vorlesung / dem Kurs besser.