Ein Würfelspiel mit Ikosaeder und Dodekaeder - Gewinnchance berechnen!

Question

Amelie und Bruno spielen ein Würfelspiel. Dabei würfelt Amelie mit einem mit den Zahlen von 1 bis 20 ... beschrifteten Ikosaeder. Bruno dagegen würfelt mit einem mit den Zahlen von 1 bis 12 beschrifteten Dodekaeder. Beide würfeln abwechselnd jeweils viermal.

Amelie gewinnt, wenn sie bei mindestens drei der vier aufeinander folgenden Würfe eine höhere Augenzahl erzielt als Bruno. Andernfalls gewinnt Bruno.

Wer von beiden hat die größere Gewinnchance?

Answer 1

Du kannst ein Baumdiagramm der folgenden Art basteln:
Das erste Ereignis ist der Wurf des Dodekaeders, das zweite Ereignis der Wurf des Ikosaeders.

Dann hat jeder Ast des ersten Ereignisses dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/12.

Für das zweite Ereignis nimmst du jetzt direkt die Auswertung vor, also wer gewonnen hat:

Für den ersten Ast (erster Wurf ist eine 1) wäre das folgendermaßen:

Amelie kriegt einen Punkt: wenn sie 2-20 würfelt, also in 19 Fällen, p=19/20

Amelie kriegt keinen Punkt: wenn sie eine 1 würfelt, also in einem Fall, p=1/20

Analog setzt sich das für alle anderen Würfe des Dodekaeders fort.

Um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten, dass Amelie einen Punkt bekommt, musst du die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Pfade ausrechnen, in denen sie einen Punkt bekommt (für das Beispiel oben also 1/12*19/20 = 19/240) und diese Teilwahrscheinlichkeiten addieren.

Das gibt:
P(Amelie kriegt Punkt) = 1/12*(19/20+18/20+17/20+16/20+15/20+14/20+13/20+12/20+11/20+10/20+9/20+8/20) = 162/240 = 67,5%

Amelie gewinnt, wenn sie drei oder vier Punkte hat.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sie vier Punkte hat, beträgt (0,675)⁴ ≈ 0,208

Die Wahrscheinlichkeit, dass sie drei Punkte hat, beträgt 4*(0,675)³*(1-0,675) ≈ 0,400

Zusammen gibt das für Amelie eine Siegwahrscheinlichkeit von rund 60,8%, also steht sie besser da.

 

Comments

Wie kommst du denn auf 4*(0,675)^3*(1-0,675) ???

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Das folgt aus der Pfadregel: ein Pfad, im Baumdiagramm, in dem sie dreimal gewinnt, muss immer irgendwo einmal "Verlieren" beinhalten, das heißt ein einziger Pfad hat die Wahrscheinlichkeit:

0,675*0,675*0,675*(1-0,675)

Dreimal die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, einmal die Wahrscheinlichkeit zu verlieren.

Das Verlieren kann nun an vier unterschiedlichen Stellen passieren, nämlich beim ersten Spiel, beim zweiten, beim dritten oder beim vierten.

Es gibt im Baumdiagramm also insgesamt vier Pfade mit dem gewünschten Ergebnis, also muss man das Ergebnis noch mit 4 malnehmen.

 

(Das nennt man übrigens auch das Bernoulli-Gesetz.)

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1. Warum hast du bei der Wahrscheinlichkeit von Amelie 1/12 * ( den rest) genommen

2. Warum hast du bei der berechnung von amelies wahrscheinlichkeit bei 8/20 aufgehört?

3. warum nimmst du für 3 Punkte 4* das ganze also hoch 3 versteh ich aber nich 4*^^

 

LG Matheass94... ich bin zwar gut in Mathe also 13P aber das versteh ich nicht ganz... viele mathematiker haben bei wahrscheinlichkeit aber ihrer schwierigkeiten... bzw. bei stochastik bei mir sind es halt die zufallsexperimente ^^

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1. Vielleicht sollte ich das nochmal ganz aufdröseln.
Ich habe da ja erstmal die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, dass Amelie einen höheren Wert gewürfelt hat. Das ist noch nicht der Sieg, sondern nur ein Punkt, von denen sie mindestens drei braucht.

Um diese Wahrscheinlichkeit zu erhalten, müssen alle Teilwahrscheinlichkeiten von Würfelergebnissen addiert werden, bei denen Amelie eine höhere Punktzahl hat.

Ich notiere die Ergebnisse jetzt nach der Regel (Brunos Wurf, Amelies Wurf) also steht zum Beispiel (10, 2) dafür, dass Bruno eine 10 und Amelie eine 2 gewürfelt hat. Das ist natürlich kein Ergebnis, bei dem Amelie einen Punkt bekommt.

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass Bruno eine 1 würfelt ist 1/12. Amelie gewinnt dann in den folgenden Ereignissen:

(1, 2), (1, 3), (1, 4), ... , (1, 19), (1, 20)

Das sind insgesamt 19 von 20 Ereignissen mit einer 1 vorne, denn (1, 1) ist nicht dabei. Diese Teilwahrscheinlichkeit beträgt also

1/12*19/20

wobei 1/12 von Brunos 1 und die 19/20 von Amelies günstigen Ergebnissen kommen.

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass Bruno eine 2 würfelt ist wieder 1/12. Amelie kann dieses Mal bei 18 Ereignissen einen Punkt bekommen, also beträgt diese Teilwahrscheinlichkeit

1/12*18/20

so geht es weiter, die nächsten Wahrscheinlichkeiten lauten dann 1/12*17/20; 1/12*(16/20); ...

Am Ende müssen diese Werte addiert werden, wobei ich den ersten Wurf, also die Wahrscheinlichkeit 1/12, ausgeklammert hab.

2. Allerdings kann Bruno maximal eine 12 würfeln, da beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Amelie gewinnt

1/12*8/20

also ist das der letzte Term in der Summe.

 

3. Falls das klar ist, kommt jetzt der nächste Schritt: wir wissen jetzt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Amelie bei einem Würfeldurchgang einen Punkt bekommt (nämlich 0,675), also können wir ein neues Zufallsexperiment definieren, bei dem die Entscheidung stets nur "Amelie bekommt einen Punkt" oder "Amelie bekomm keinen Punkt" ist.

Die Wahrscheinlichkeit für vier Punkte (das hast du wahrscheinlich verstanden, ich erwähne es trotzdem der Vollständigkeit halber) beträgt dann

0,675 * 0,675 * 0,675 * 0,675 = 0,675⁴

Die Wahrscheinlichkeit, dass sie drei Punkte erhält ist ein kleines bisschen schwieriger zu bestimmen: es gibt im Baumdiagramm nämlich nicht nur einen Weg.

Bruno könnte beim ersten Wurf einen Punkt bekommen, oder beim zweiten Wurf oder beim dritten oder beim vierten. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist gerade die Gegenwahrscheinlichkeit für Amelies Punkt nämlich (1-0,675).

Es gibt also insgesamt vier Wege, im Baumdiagramm, die das gewünschte Ergebnis liefern, diese müssen wieder addiert werden:
(1-0,675)*0,675*0,675*0,675 + 0,675*(1-0,675)*0,675*0,675 + 0,675*0,675*(1-0,675)*0,675 + 0,675*0,675*0,675*(1-0,675) = 4*0,675³*(1-0,675)

 

Answer 2

Zuerst benötigt man de Wahrscheinlichkeit, dass Amelie in einer Runde mehr würfelt.

Ich berechne hierfür die Zahl die günstigen und die möglichen Ausfälle.

Möglich sind 20*12 Ausfälle.

Günstig für Amelie (Annahme: würfelt immer als Erste) sind die Ausfälle

2 1                                                                            1

3 1, 3 2                                                                   2

4 1, 4 2, 4 3,                                                           3

......

12 1, 12 2, 12 3 ................................, 12 11            11 Ausfäle

Bis hierhin sind das 1+2+3+..........................+11 = 12*11/2 = 6*11 Ausfälle

13 1,                                                                   ,12 12

14 1,                                                                     14 12

15 1                                                                      15 12

…

20 1                                                                      20 12

Diese Gruppe: 8*12 Ausfälle

Günstige Ausfälle total: 66 + 96 = 162 Ausfälle.

Somit P(Amelie gewinnt bei einem Wurf) = 162 / (20*12) =p= 5/8 = 0,675

Ab hier gehts weiter wie bei der Torschützenaufgabe von gestern. Einfach mit 5/8 und 3/8.

P(4 mal besser) = p⁴

P(3 mal besser) = 4p³q

P(3 oder 4 mal besser) = p⁴ + 4p³q = 0.675⁴ + 4*0.675³ * 0,375 =       0.2075     + 0.4391 = 0.6466

also ca. 64,7%

Gerne würde ich einen Link zu diesem Torschützen anfügen. Weiss aber momentan noch nicht wie. Dort steht wie man auf die '4' kommt in 4p³q.

Comments

Hallo Lu, Die 5/8 kann ich nicht nachvollziehen. Sind es nicht 27/40?

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Natürlich. Sorry. Der Schluss wäre somit (hoffentlich):

0.675⁴ + 4*0.675³ * 0,325 =       0.2075     + 0.3998 = 0.6073 oder 60,73%

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Man kommt durch die Ableitung auf die 4

f(p)=p^4

f '(p)=4p^3

 

die Formel für die Ableitung von x^n = n*x^n-1

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Ich habe damit die Herleitung (nicht die Ableitung) bei der Aufgabe 

https://www.mathelounge.de/2238/wahrscheinlichkeit-spiel-schiesst-viermal-treffe-torwart?show=2241#a2241

gemeint.  Das Pascaldreieck kommt von  (p+q)ⁿ

Bei mehrfachem Ableiten von Potenzfunktionen kommen automatisch auch 'solche' Zahlen (aber nur Quotienten von Fakultäten) raus.

 

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und wo ist jetzt das q her?Ich bin nun ziemlich verwirrt. Muss man jetzt die Ableitung bilden und warum muss da überhaupt ein q bzw. zuerst nur (0,675)^4 und dann auf ienmal 4*(0,675)^3, das verstehe ich nicht so ganz

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Hallo Einstein_Balu.

Bei mir hat die 4 nichts mit Ableitung zu tun. Verstehst du die Erklärungen zur im Link angegebenen Aufgabe?

Und kennst du das Pascaldreieck? Den Zusammenhang zur Ableitung musst du irgendwie selbst herstellen, wenn du den hier brauchst.

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Ist es das, was du meinst: Zuerst 3 Schüsse drinn, dann einer vorbei : (2/3)^3*(1/3)

                        Zuerst 2 Schüsse drinn, dann einer vorbei, dann ein Schuss drinn : (2/3)^3*(1/3)

                      Zuerst 1 Schuss drinn, dann einer vorbei, dann 2 Schüsse drinn : (2/3)^3*(1/3)

                      Zuerst einer vorbei, dann 3 Schüsse drinn : (2/3)^3*(1/3)

Deshalb 4 gleiche Summanden. Also  

                        3 Schüsse drinn, einer vorbei   4 *(2/3)^3*(1/3) ?

Das bedeutet dann in dem Würfelspeilfall, dass dort genau dasselbe passiert, also nur mit 4*(0,675)^3 und das dann mal (0,325), weil ich 100-0,675 rechnen muss, um die Restwahrscheinlichkeit noch mit zu multiplizieren (da ja immer ein Schuss bzw. ein Wurf daneben geht?

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Ja genau! q ist die Gegenwahrscheinlichkeit bei 'Elementarereignissen'. Dort kann man für die Elementarereignisse Schüsse nehmen. Hier: Würfe mit den beiden Würfeln.

Wenn du dort die 'Gesamtwahrscheinlichkeit' (also die 1 oder 100% für alle überhaupt möglichen Fälle) überprüfen möchtest, musst du auch noch '2 von 4 Schüssen drinn' , '3 von 4 Schüssen drinn' und 'alle 4 Schüsse drinn' zählen.

Dort kommen die Faktoren 6, 4, 1 raus - wie in einer Zeile beim Pascaldreieck.

Ich hab gemeint, du seist bereits dort, denn 6 = 3*2  sieht ja so aus, wie wenn x³   zwei mal abgeleitet worden wäre.

Das stimmt aber schon bei 5 Schüssen (der nächsten Zeile des Pascaldreiecks 1 5 10 10 5 1) nicht mehr für die 10; 5 ist noch ok.

 

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Hm, also das mit dem Pascalschen Dreieck kenne ich leider nicht :| aber warum brauche ich das? Ich dachte es ist hoch 3, weil sie mindestens 3 mal hoehere Augenzahl braucht, um zu gewinnen, oder? Deswegen rechne ich doch auch erst (0,675)^4 ?

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Für die Aufgabe hier brauchst du das Pascaldreieck natürlich nicht.

Es kommt erst richtig zum Zug, wenn die beiden mehr als 4 mal würfeln und du nicht immer die verschiedenen Reihenfolgen aufzählen willst, um auf die Faktoren zu kommen.