Cauchy Folgen / Kriterium nachweisen.

Question

Hi ich soll zeigen, dass a_n = 1/n das Cauchy Kriterium erfüllt, sie also eine Cauchy Folge ist,

und dass b_n = n dies nicht ist.

Ich habe jetzt :

 

Sei ξ > 0 und m,n € N mit n>m sowie n₀ = _____

|1/n - 1/m| = (n-m)/(nm) <= n /nm = 1/m = ξ   =>   n₀ = 1/ξ

===> |1/n - 1/m|<1/n0 = ξ

 

für b_n =  n :

|n-  m| < n = ξ    => n₀ = ξ

|n - m| < n = n₀  = ξ    und dass das gegen  n >= n₀ und n>m in diesem Fall mit n=n₀ widersprüchlich ist.

 

Ich denke es ist total falsch, aber ich kommt einfach nicht weiter.

Answer 1

 

Sei ξ > 0 und m,n € N mit n>m ≥no und sei n₀ = __1/ξ___

|1/n - 1/m| = (n-m)/(nm) <= n /nm = 1/m = ξ   =>   n₀ = 1/ξ

===> |1/n - 1/m|<1/n0 = ξ

1. Teil. Scheint mir vernünftig. Ich würde nun zu Beginn gleich den gelben Teil einsetzen und dann zeigen, dass damit das Cauchykriterim erfüllt ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man n>m voraussetzen.

 

2. Teil

für b_n =  n :

|n-  m| < n = ξ    => n₀ = ξ

|n - m| < n = n₀  = ξ    und dass das gegen  n >= n₀ und n>m in diesem Fall mit n=n₀ widersprüchlich ist.

Beweis durch Widerspruch:

Sei Epsilon = 1/2 und no eine Zahl so dass

|n-m| < Epsilon für alle n,m>no.

Nun nehme ich n= no+1 und m =no+2 und erhalte

|n-m| = |1-2| = 1 < 1/2. Steht im Widerspruch zur Annahme, dass das Cauchykriterium erfüllt ist.