ich gehe zur Zeit in die zehnte Klasse. Nun habe ich mir im Internet eine Matheklausur des Mathe-LK gekrallt, in der es um Analysis und analytische Geometrie geht. Nun bin ich die fleißig am Lösen...bei einer Aufgabe bin ich mir aber wegen der Lösung unsicher, ob die Darstellung so richtig ist...
Aufgabe:
a) Bestimme den Parameter t so, dass sich die Geraden g1 und g2 senkrecht schneiden:
$$ { g }_{ 1 }: \vec{ x }= \begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix}$$
$$ { g }_{ 2 }: \vec{ x }= \begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 1\\t\\3 \end{pmatrix}$$
b) Gib eine Gleichung einer Ebene an, die von g1 im Punkt P(3|4|6) senkrecht geschnitten wird.
c) Überprüfe, ob die Gerade g1 vollständig in der Ebene E verläuft:
E: 4x -4y +5z = 26
Meine Lösungen:
a) Wenn g1 und g2 sich senkrecht schneiden, so sind ihre Richtungsvektoren orthogonal. Das heißt, ihr Skalarprodukt muss 0 sein:
$$ \begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\t\\3 \end{pmatrix} = 0$$
Nach t auflösen:
3 -2t -12 = 0
-2t -9 = 0
-2t = 9
t = -9/2
=> t muss -9/2 sein, damit das Skalarprodukt 0 ist.
b) Der Richtungsvektor von g1 ist der Normalenvektor der Ebene. Der Punkt P dient als Stützpunkt, was heißt, dass der dazugehörige Ortsvektor in der Ebene liegt. Die Normalenform der Ebene ist:
$$E: (\vec{ x }-\vec{p})\cdot\vec{n} = 0$$
=> Einsetzen der Vektoren:
$$E: (\vec{ x }-\begin{pmatrix} 3\\4\\6 \end{pmatrix})\cdot\begin{pmatrix} 3\\-2\\-4 \end{pmatrix} = 0$$
c) E: 4x -4x +5z = 26
Einsetzen von g1 in E.
4(3+3r)-4(4-2r)+5(6-4r) = 26
12 +12r -16 +8r +30 -20r = 26
26 = 26
=> g1 liegt vollständig in der Ebene, da die Gleichung unendlich viele Lösungen hat.
Mir geht es weniger um die Richtigkeit (obwohl ich es schön fände, wenn alles so stimmen würde), sondern mehr darum, ob meine Darstellung bzw. das Aufschreiben der Rechenwege so korrekt ist.
