Bestimme den Grenzwert für n nach unendlich

Question

ich soll den Grenzwert von  n^2*(e^{1/n}-1)^2 für n nach Unendlich bestimmen. Ich weiß zwar, dass 1 rauskommt, aber habe ich keine Ahnung wie ich das mathematisch herleite bzw. beweise.

Kann mir das jemand kurz skizzieren? Dank schonmal.

Tom

Comments

kannst du Regel von D'Hospital anwenden ?

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Also ich kenne die Regel, aber wie soll ich die hier anwenden. Habe doch keinen Bruch.

Answer 1

der "Trick" besteht darin die Folge als Bruch darzustellen um L'Hospital anwenden zu können.

$$ \large{\lim \limits_{n \to \infty} n^2 (e^{\frac{1}{n}} -1 )^2 = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(e^{\frac{1}{n}}-1)^2}{\frac{1}{n^2}}} $$

Und du erhältst den Fall "\(\frac{0}{0}\)"

Gruß

Comments

Könnte man nicht einfach wie folgt umformen:$$\lim_{n\to\infty}n\left(e^{\frac1n}-1\right)=\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}h=\lim_{h\to0}\frac{e^h}1=1.$$

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Ist ja im Grunde kein großer Unterschied. :) Schön gemacht.

Answer 2

Im ersten Schritt wandelst du
n²*n²*(e^1/n-1)²(e^1/n-1)²
( unendlich * null^2  )
um in

null^2 / ( 1 / unendlich )
(e^1/n-1)² / ( 1 / ( n^2 )
was 0 / 0 bedeutet.

l´Hospital muß 2 mal angewendet werden.