Ortskurve der Wendepunkte von fa(x) = e^2x - a*e^x.

Question

Also, ich habe schonmal die erste und zweite Ableitung gebildet:

fa'(x) = 2*e^2x - a*e^x

fa''(x) = 4*e^2x - a*e^x

Danach habe ich den Wendepunkt berechnet:

fa''(x) = 0

4*e^2x - a*e^x = 0 |+a*e^x

4*e^2x = a*e^x 

So, hier weiß ich leider nicht weiter, wie ich die Gleichung lösen kann.

Bin sehr dankbar für alle Hilfen !

Answer 1

Hi,

kleiner Hinweis:

$$ 4e^{2x} - ae^x = e^x(4e^x-a) $$

Alternativ:

Dividiere auf beiden Seiten deiner letzten Gleichung durch \(e^x\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, da \( e^x > 0 \) für alle reellen Zahlen \(x\) ist.

Gruß

Comments

aber ist e^x * 4*e^x nicht 4*e^{x^2} ?

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"Fast" :D. Beachte die Potenzregeln. 

$$ e^x \cdot 4e^x = 4 (e^x)^2 = 4e^{2x} $$

bzw.

$$ 4e^x \cdot e^x = 4e^{x+x} = 4e^{2x} $$

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Achso ok dankeschön !

Komme aber auf beiden Wegen zu dem Ergebnis x = ln(a/4).

Answer 2

Du brauchst noch die dritte Ableitung, denn die muss ja ungleich Null sein, damit es sich um einen Wendepunkt handelt:

$$f_a^{'''}(x) = 8 \ e^{2x}-a \ e^x$$

Jetzt deine Gleichung nach x umformen:

$$4 \cdot e^{2x}=a \cdot e^x \quad | \ : \ e^x \\ 4 \cdot e^x = a \\ e^x = \frac{a}{4} \\ x = ln \left( \frac{a}{4} \right) $$

Da das Argument vom ln() nicht 0 oder kleiner sein darf, muss a>0 gelten. Den Punkt in die dritte Ableitung einsetzen:

$$f_a^{'''} \left( ln \left( \frac{a}{4} \right) \right) = 8 \ e^{2 \ ln(a/4)}-a \ e^{ln(a/4)} \\ = 8 \ \left( \frac{a}{4} \right)^2 - a \ \frac{a}{4} = \frac{8a^2}{16} - \frac{4a^2}{16} = \frac{a^2}{4} > 0$$

da a>0.

Restliches Vorgehen bekannt oder brauchst du da auch Hilfe?

Comments

Super, danke! Das habe ich vergessen. Wie es weiter geht, weiß ich, aber bei mir kommt Mist raus.. Wäre lieb, wenn du mir das auch nochmal aufschreiben könntest.

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Obwohl.. Ist das Ergebnis 2e^x - 8e^2x ?

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Gern. Du kennst jetzt die x-Werte deiner Wendepunkt, für die y-Werte gilt: $$f_a(ln(a/4)) = e^{2 \ ln(a/4)} - a \ e^{ln(a/4)} \\ = \left( \frac{a}{4} \right)^2 - a \ \frac{a}{4} =  \frac{a^2}{16} - \frac{4 \ a^2}{16} = - \ \frac{3 \ a^2}{16} \ .$$

Jetzt musst du noch die Gleichung, die ich vorhin nach x aufgelöst habe, nach a umformen und hier einsetzen: $$x = ln(a/4) \\ \Rightarrow \ a = 4 \ e^x$$

$$\Rightarrow \quad y = - \ \frac{3 \ a^2}{16} = - \ \frac{3 \ (4 \ e^x)^2}{16} \\ = - \ \frac{48 \ e^{2x}}{16} = - 3 e^{2x} \ .$$

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Vielen vielen Dank ! Ich habe meinen Fehler gefunden.