Vektorgleichung. Zeigen Sie, dass für 4 Punkte einer Figur gilt "AB = CD ==> AC = BD."

Question

Zeigen Sie: Wenn für vier Punkte ABCD gilt  $$ \xrightarrow { AB } $$ = $$\xrightarrow { CD } $$, dann gilt auch $$\xrightarrow { AC }$$ = $$\xrightarrow { BD }$$. 

Answer 1

Das kann Komponentenweise bewiesen werden :

Definition des Vektors AB und CD:

$$ \vec{AB}= \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1-c_1\\d_2-c_2\\d_3-c_3 \end{pmatrix}= \vec{CD}$$ , jetzt schaut man nur auf die ersten Komponeten der beiden Vektoren (für die anderen beiden gilt es genauso:

$$b_1-a_1=d_1-c_1$$

jetzt nur a und d vertauschen so steht da:

$$b_1-d_1=a_1-c_1$$

der Rest ist trivial :)

Answer 2

Rechnerischer Beweis: Vgl mathef.

Geometrische Deutung.

AB = CD      (Vektoren) 

heisst ABDC ist ein Parallelogramm (beschriftet in dieser Reihenfolge! (Gegenuhrzeigersinn).

In diesem Parallelogramm gilt automatisch auch

AC = BD

Der Begriff des Vektors es Voraussetzung für diese Argumentation. Er wird z.B. hier eingeführt: 

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=T4owOPsEg8M