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Zeigen Sie: Wenn für vier Punkte ABCD gilt  AB \xrightarrow { AB } = CD\xrightarrow { CD } , dann gilt auch AC\xrightarrow { AC } = BD\xrightarrow { BD }

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Das kann Komponentenweise bewiesen werden :

Definition des Vektors AB und CD:

AB=(b1a1b2a2b3a3)=(d1c1d2c2d3c3)=CD \vec{AB}= \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1-c_1\\d_2-c_2\\d_3-c_3 \end{pmatrix}= \vec{CD} , jetzt schaut man nur auf die ersten Komponeten der beiden Vektoren (für die anderen beiden gilt es genauso:

b1a1=d1c1b_1-a_1=d_1-c_1

jetzt nur a und d vertauschen so steht da:

b1d1=a1c1b_1-d_1=a_1-c_1

der Rest ist trivial :)

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Rechnerischer Beweis: Vgl mathef.

Geometrische Deutung.

AB = CD      (Vektoren) 

heisst ABDC ist ein Parallelogramm (beschriftet in dieser Reihenfolge! (Gegenuhrzeigersinn).

In diesem Parallelogramm gilt automatisch auch

AC = BD

Der Begriff des Vektors es Voraussetzung für diese Argumentation. Er wird z.B. hier eingeführt: 


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