Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum beweisen oder widerlegen: P(A|B) = 1 - P(A| B^C)

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie folgende Aussage:

Sei \( (\Omega, P) \) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Sei \( B \subset \Omega \) mit \( P(B)>0 \) und \( P\left(B^{C}\right)>0 \). Dann gilt für alle \( A \subset \Omega \)

\( P(A \mid B)=1-P\left(A \mid B^{C}\right) \)

Beweisen Sie diese Aussage entweder allgemein oder zeigen Sie durch ein geeignet gewähltes Gegenbeispiel, dass sie falsch ist.

Ansatz/Problem:

Ich weiß, dass P(A ∣ B)= P(A∩B) / P(B) und P(AC)= 1-P(A) gilt, allerdings nicht wie man das oben Beschriebene zu beweisen hat.

Answer 1

nicht lange fackeln, mach ein Gegenbeispiel, denn die Aussage ist falsch.

Gruß

Comments

danke! Wie mach ich das am besten? A und B angeben und dann aufzeigen, dass das linke nicht dem rechten entspricht?

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Klingt nach einer guten Strategie. :)

Tipp: \( B \subset A \).

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P(B)=b=5
P(A∩B)=x=4

dann ergibt sich für die linke seite x/b=4/5

für die rechte seite:

   1-P(A|Bkomplement)
= 1-P(A∩Bkomplement)/P(Bkomplement)
=1-(b-x/1-b)=3/4

wäre dies richtig?

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Was soll das für ein Beispiel sein. Das sjnd einfach nur iwelche Wert. Vor allem macht das mit den wahrscheinlichkeiten mit den werten 4 und 5 keinen Sinn. Schreibe korrekt auf was dein ereignisse sind. Handelt es sich hier um einen Würfelwurf?

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dann hab ich keine Ahnung, wie das funktioniert.
Könntest du mir die Lösung bitte einmal aufzeigen. Ich habe keine anderen Aufgaben dieser Art, um mich daran zu orentieren.

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Das ist nicht wirklich etwas das man nach Schema F machen sollte. Lass uns das doch gemeinsam Schritt für Schritt machen :). Du willst also mittels Gegenbeispiel zeigen, dass die obige Behauptung falsch ist. Zu allerst benötigst du erstmal für dein Beispiel einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Wähle doch einen in dem du dich wohlfühlst, der aber mindestens 3 verschiedene Elementarereignisse besitzt.