Aufgabe III.1:
a) Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und \( x, y \in X \) mit \( x \neq y \). Zeigen Sie, dass es Umgebungen \( U_{1}(x) \) von \( x \) und \( U_{2}(y) \) von \( y \) gibt, die disjunkt sind.
b) Sei
\( \mathcal{T}=\{\emptyset\} \cup\{S \subset \mathbb{N} \mid(\mathbb{N} \backslash S) \text { ist endlich }\} \)
Zeigen Sie, dass \( \mathcal{T} \) eine Topologie auf \( \mathbb{N} \) definiert.
c) Zeigen Sie, dass der topologische Raum (\mathbb{N, } \mathcal { T } \text { ) die Trennungseigenschaft aus Aufgabenteil a) nicht erfiullt.
Aufgabe III.2:
Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty) \) definiert durch
\( f(x)=x+e^{-x} \)
Besitzt \( f \) einen Fixpunkt? Welche Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind erfüllt bzw. nicht erfüllt?
Aufgabe III.3:
Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum. Beweisen Sie:
a) Endliche Vereinigungen kompakter Teilmengen von \( X \) sind kompakt.
b) Falls \( X \) kompakt ist, so ist \( X \) auch vollständig.
Aufgabe III.4:
Für \( 1 \leq p \leq \infty \) betrachten wir den Banachraum \( \ell^{p}=\ell^{p}(\mathbb{R}) \), definiert durch
\( \ell^{p}=\left\{\left.\left(a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\left|\sum \limits_{k=1}^{\infty}\right| a_{k}\right|^{p}<\infty\right\},\left\|\left(a_{n}\right)\right\|_{p}=\left(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p} \quad \text { für } 1 \leq p<\infty \)
und
\( \ell^{\infty}=\left\{\left(a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(a_{n}\right) \text { ist beschränkt }\right\}, \quad\left\|\left(a_{n}\right)\right\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{N}}\left|a_{n}\right| \)
Beweisen Sie, dass die Menge
\( \mathcal{S}^{1}=\left\{\left(a_{n}\right) \in \ell^{p} \mid\left\|\left(a_{n}\right)\right\|_{p}=1\right\} \)
sowohl abgeschlossen als auch beschränkt, jedoch nicht kompakt ist.
Ansatz/Problem:
Ich weiß nicht, ob hier sowas unterstützt wird, aber ich habe 4 Aufgaben aus dem Bereich der Analysis im Rn, die ich lösen soll.
Da ich eigentlich Physiker bin und dort nicht die Mathematik in dem Umfang, wie sie die Mathematikstudenten durchnehmen, brauche, bin ich dementsprechend nicht gut in dem Bereich. Ich muss lediglich einige Aufgaben lösen und insgesamt 50% der Aufgaben richtig gelöst haben, dann bin ich das Fach für immer los. Es macht für mich also keinen Sinn alles auch wirklich zu verstehen, da ich es für die Zukunft nicht brauchen werden, denn mein Weg wird in eine andere Richtung gehen.
