Eine ganzrationale Funktion

Question

Hallo alle miteinander!  :) 

Ich hab hier eine Aufgabe, bei denen ich leider nicht voran komme...  :( ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen! Ich bedanke mich schon im Voraus! 

Also:

Eine ganzrationale Funktion f erfüllt die folgenden Bedingungen : f(-1)=1/8;f(2)=-4;f(1)=-15/8;f(-2)=12;f(4)=-18.Welchen Grad hat f?  Stelle einen Funktionsterm auf. 

Wie soll ich dabei vor gehen? Und was soll ich beachten? 

Answer 1

Du hast 5 Angaben. Damit kannst du eine Funktion 4.Grades aufstellen


ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

f(-1) = 1/8

 a*(-1)^4+b*(-1)^3+c*(-1)^2+d*(-1)+e = 1/8

1. a-b++c-d+e=1/8

2. f(2) =4

Gehe analog zu 1. vor, indem du x=2 einsetzt.

usw.

Answer 2

P1    f(-1)  =  -1a3    +1a2    -1a1   +1ao  = 1/8

P2    f(2)   =  8a3    + 4a2   +2a1  +1ao  = -4

P3    f(1)   =  1a3   + 1a2   +1a1   +1ao  = -15/8

P4    f( -2) = .8a3   +4a2   -2a1  +1ao     = 12

 nach Gauß   !!

 ao        a1       a2      a3     

 1          -1        1       -1     →  1/8

 1          2         4        8     -----> -4

 1          1         1        1     → - 15/8

 1         -2         4        -8    -------->  12

----------------------------------------------------------

- 5/2     0          13/8    -1    

-5/2          +   13/8 x²    - x³   =  f(x)  

Wenn du alle Rechenschritte brauchst , musst du dich melden !!

Funktionsgleichung →  - x³  + 13/8 x²  - 5/2      !!!!

Comments

hallo mathe49,

bei dieser Funktion ist f(4) nicht -18, sondern -40,5.

Du hast diesen letzten Punkt bei deiner Berechnung nicht berücksichtigt.

Answer 3

  Ich versuche zu separieren; Grundüberlegung: Die x-Werte +/- 1 so wie +/- 2 liegen Nullpunkt symmetrisch.

     f ( x ) := a4 x ^ 4 + a3 x ³ + a2 x ² + a1 x + a0   ( 1 )

    Zunächst folgen f ( +1 ) so wie f ( -1 )

    a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = ( - 15/8 )  ( 2a )

   a4 - a3 + a2 - a1 + a0 = 1/8   ( 2b )

   Additionsverfahren ( 2a ) + ( 2b ) eliminiert a1;3

     a4 + a2 + a0 = ( - 7/8 )   ( 3a )

     Und das Subtraktionsverfahren ( 2a ) - ( 2b ) eliminiert a0;2;4

   
     a3 + a1 = ( - 1 )    ( 3b )

   Analog x = ( +/2)

    16 a4 + 8 a3 + 4 a2 + 2 a1 + a0 =  ( - 4 )   ( 4a )

    16 a4 - 8 a3 + 4 a2 - 2 a1 + a0 =  12 ( 4b )


    Addition



       16 a4 + 4 a2 + a0 = 4   ( 5a )


    Subtraktion


    4 a3 + a1 = ( - 4 )   ( 5b )



    Mit unserer Separation kommen wir ganz gut voran; ( 3b;5b ) lässt sich LMNTar lösen



     a3 = ( - 1 )    ( 6a )

    a1 = 0    ( 6b )


   Auch die geraden Koeffizienten lassen sich schon zu einem 2 X 2 System reduzieren; a0 fällt ja bei Subtraktion immer heraus. ( 5a ) Minus ( 3a )




    5 a4 + a2  = 13/8   ( 7 )



   Jetzt kommt noch die Bedingung x = 4 hinzu, wobei wir gleich die Erkenntnisse ( 6ab ) einbauen.



    256 a4 + 16 a2 + a0 = 46   ( 8a )



   Abermals Elimination von a0; Subtraktion ( 8a - 5a )


    40 a4 + 2 a2 = 7   ( 8b )


    Die elementare Lösung von ( 7;8b )


     a4 = 1/8    ( 8c )
   
     a2 = 1   ( 8d )


    Abschließend ( 3a )


    a0 = ( - 2 )    ( 8e )

   f ( x ) = 1/8 x ^ 4 - x ³ + x ²  - 2    ( 9 )  Hurra; Wolfram hat alle Knoten bestätigt.