Injektivität bei nicht-leeren Mengen

Question

Aufgabe:

Seien \( M, N \) zwei nicht-leere Mengen und \( f: M \longrightarrow N \) eine Abbildung. Formuliere die folgende Aussage zunächst in Quantorenschreibweise und beweise sie anschließend:

f ist genau dann injektiv, wenn für alle nicht-leeren Mengen \( X \) und für alle Abbildungen \( g: X \longrightarrow M \) und \( h: X \longrightarrow M \) mit \( f \circ g=f \circ h \) folgt, dass \( g=h \) ist.

Answer 1

f injektiv  
und sei x eine nicht leere Menge und g und h solche Abbildungen
mit  fog = foh und angenommen g ungleich h,
dann gibt es x aus X mit g(x) ungleich h(x) und beide aus M
und da f injektiv ist, ist
                     f(g(x) ) ungleich f ( h(x) )
im Widerspruch zu   fog = foh

Sei umgekehrt für alle  nicht leeren Mengen ... folgt g=h.
Und seien nun x ,y aus M mit  f(x) = f(y) .
Sei nun X irgendeine nicht leere Menge.
Betrachte nun die konstanten Abb.en  von X  nach M
und zwar g, die alles auf x abbildet und h, die alles auf y abbildet.

Dann gilt für alle a aus X     f(g(a))=f(x)   und f(h(a))=f(y)
                                          also     f(g(a))= f(h(a))
                             damit nach Vor  g = h
und nach Def. von g und h also x=y.
Also folgt aus f(x) = f(y)  immer x=y, d.h. f ist injektiv.