Matrix-Polynom-Eigenwert Aufgabe

Question

Sei K ein Köorper, seien A ∈ M(n x n;K) und W ∈ GL(n;K). Zeigen Sie, dass füur jedes
Polynom p(t) ∈ K[t] gilt:
a) p(WAW^-11) = Wp(A)W^-1.
b) Ist λ Eigenwert von A, so ist p(λ) Eigenwert von p(A).

 

mein Gedanke war:

zu a)

Wp(A)W^-1 = W * ( ∑ A_ij v_i ) * W^-1  <=> ∑ W * A_ij v_i W^-1  <=> P(WAW^-1)

 

zur b)

es gilt p(λ) = λ * v

soll ich hiermit irgendwie arbeiten?

habe hier leider keine ahnung

 

Answer 1

zu a)

Ich weiß nicht was du mit ( ∑ A_ij v_i ) meinst, das sieht nicht wie ein Polynom aus.

Schreib dir den Ausdruck einfach mal hin, also nimm ein allgemeines Polynom p(X)=a_mX^m+a_m-1X^m-1+...+a₁X+a₀

und dann setzte für x doch einfach mal WAW^-1 ein. Dann sollte die a) schon gelöst sein.

 

zur b)

also λ ist Eigenwert heißt ja es gibt ein v, so dass A*v=λ*v.

und jetzt rechnest du mal aus, was für dieses v,  p(A)*v ist. am besten wieder mit dem Polynom p von oben. Und dann ist auch die b) erledigt.