Klammern durch Quadrieren/Wurzel auflösen?

Question

Kann man eine Rechnung wie 4 = (3 - e^0,2x)² durch eine Wurzel eigentlich in 2 = 3 - e^0,2x umwandeln?

Und umgekehrt:

Kann man eine Rechnung wie 2 = √(3 - e^0,2x) durch Quadrieren in 4 = 3 - e^0,2x umwandeln?

Answer 1

Die Wurzel ziehen geht solange du Positive werte hast.

Quadrieren geht auch. Du bekommst aber eventuell Lösungen die nicht richtig sind. Musst daher anschließend deine Lösungen kontrollieren.

Comments

Der Wert in der Rechnung bleibt doch durch das Quadrieren immer positiv, also kann ich da doch immer die Wurzel ziehen, oder nicht?

Und wie bekomme ich denn eine Lösung, die eventuell nicht richtig ist, wenn das Quadrieren jener Gleichung richtig ist?

Das Problem, was ich hier habe ist nur, dass ich bei der ersten Aufgabe die Wurzel gezogen habe und das einzige Ergebnis dazu x = 0 ist. Die zweite mögliche Lösung, x = 5 * ln(5), ist mir dabei völlig abhanden gekommen. Deswegen (bin ich verwirrt und) frage ich mich, ob dieser Rechenweg überhaupt richtig war, wenn man auf das zweite mögliche Ergebnis dann nicht mehr kommen kann.

Answer 2

Hi, mach Dir das Problem bitte mal an \(x^2=1\) klar.

Comments

Stimmt, haha :D

War nur ein wenig verwirrt :)

Answer 3

2 = √(3 - e^0,2x) ist nur definiert für

3 - e^{0.2*x} ≥ 0
e^{0.2*x}  ≤ 3  | ln ( )
0.2 * x ≤ ln ( 3 )
x ≤ 5.493

4 = 3 - e^0,2x
e^{0.2*x} = -1
Hat gar keine Lösung

lim x −> -∞ [ 3 - e^0,2x  ] = 3 - 0 = 3
Die 4 wird nie erreicht.

ich stehe mit dem Plotter noch auf Kriegsfuss.

Comments

Hier der Graph

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Ja, mein Fehler.

Da hätte ne √2 stehen sollen, keine 2 :)

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Fällt mir gerade auf
2 = √(3 - e^0,2x)

Hat auch keine Lösung.

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Also eine andere Frage
√  2 = √(3 - e^0,2x)
durch Quadrieren in 2 = 3 - e^0,2x umwandeln?

√  2 = √ (3 - e^0,2x)  | Radikanden müssen gleich sein
2 =  3 - e^0,2x
x = 0
gilt für  x ≤ 5.493( siehe oben ) und ist gegeben.

Generell gilt das was der mathecoach bereits gesagt hat

Einschränkung beim Wurzelziehen beachten :
√ term : term ≥ 0

Quadrieren ist keine Äquivalenz - Umformung
Die Lösungen sind auf Richtigkeit zu kontrollieren.

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Ich sah eben diese Aufgabe und habe mein Matheprogramm bemüht.

Ich gehe davon aus, das die Aufgabe 4 = (3 – e^0,2x)² die ursprüngliche Form ist.

Mein Matheprogramm hat für die entsprechende Funktion

y = (3 – e^0,2x)² - 4

als Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 8,047 = 5ln5 angegeben, außerdem das Minimum (5,493;-4)

Wie man rechnerisch auf x₂ kommt, weiß ich auch nicht.

Die Funktion sieht folgendermaßen aus.

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Dem Fragenden kam es mehr darauf an zu erfahren ob
Wurzelziehen oder Quadrieren Äquivalenzumformungen sind.

Hier die mathematisch korrekte Vorgehendweise zuri Lösung der Gleichung

4 = (3 – e^0,2x)²   | √

2 = | 3 – e^0,2x |

1.Fall für 3 – e^0,2x  > 0
2 = 3 – e^0,2x
e^0,2x = 3 - 2 = 1
0.2*x = ln ( 1 ) = 0
x = 0

2.Fall für 3 – e^0,2x  < 0
2 = - ( 3 – e^0,2x )
2 = - 3 + e^0,2x
e^0,2x = 2 + 3 = 5
0.2*x = ln ( 5 )
x = 8.05