Fragen zu abschnittsweisen definierten Funktionen.

Question

erstmal!

ich bereite mich seit heute Nachmittag auf eine Klausur vor und da sind noch einige Unklarheiten bei mir.

Wäre ganz nett wenn mir jemand helfen könnte.

Frage 1: 

Bei so einer Aufgabe: Berechnen Sie die Parameter a und b so, dass die Funktion f a,b   an der Stelle X= -1 stetig und differenzierbar sind.

Bei der Stetigkeit muss man ja jetzt für x -1 einsetzten und die beiden Funktionen zusammenrechnen also z.B.

f a,b ( x) = 1/5* x^3 + x^2 - 4/5* x -4

                     ax^2 + bx^2

f a,b ( -1) = 1/5* (-1)^3 + (-1)^2 - 4/5* (-1) -4

                     a*(-1)^2 + b*(-1)^2

Da bin ich auf -1= -12/5 gekommen. Soweit so gut.

Aber wie ist es bei der hier? Gleicher Sachverhalt nur X=-2

f a,b (x) =  -1/8 x^3 -3/4 x^2 +4

                  - 1/8 x^2 +ax +b

f a,b (-2) =  -1/8 (-2)^3 -3/4 (-2)^2 +4

                  - 1/8 (-2)^2 +a(-2) +b

Nun endlich zu meiner Frage: kann man die beiden Funktionen hier in dem Fall gar nicht zusammen rechnen, weil bei dem b kein x ist oder wie Läuft das ab?

Frage 2:

Kann mir das einer mit der Differenzierbarkeit erklären, ich versteh das irgendwie nicht mit dem Limes?

Vielen Dank erstmal! 

Gruß Thomas

Comments

Du hast also eine geteilte Funktion

f a,b ( x) =
1/5* x³ + x² - 4/5* x -4 für x < -1
und
ax² + bx²  für x > -1

Stimmt der 2.Term ? Oder muß es heißen
a*x^3 + b*x^2

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Nein der Term stimmt so ax^2 + bx^2

Answer 1

Zum Merken ( einfache Definition )
Stetig ist eine Funktion wenn Sie ohne Abzusetzen
gezeichnet werden kann.
Es gibt keine Sprünge oder Lücken.

Meist wird nicht die Stetigkeit der Funktion gesamt überprüft
sondern 1 Stelle ( x = -2 )

Differenzierbarkeit setzt Stetigkeitkeit voraus und der links- und
rechtsseitige Grenzwert der 1.Ableitung ist derselbe.
Die Steigung ist dieselbe.

Hier meine Berechnungen.

Stetig ist die Funktion für
-2 * a + b = 8.5

Differenzierbar für a = -5.
Es ergibt sich b = - 3/2

f = -1/8 * x^3 + 3/4 * x^2 + 4
f = -1/8 * x^2 - 5 * x - 3/2

Der Graph zeigt beide Funktioen

Der Graph zeigt die 1.Ableitungen / Steigungen.
Die Steigungen sind bei x = -2 gleich.

mfg Georg

Comments

Also ist das ganze nichts weiter als das ich schauen muss welche Funktion weiter links liegt und welche weiter rechts. Dann bilde ich den jeweiligen Grenzwert, setze das x ein, dadurch entsteht eine Gleichung.

Und bei der Differenzierbarkeit bilde ich die 1. Ableitung, setzte wieder das x ein, dadurch entsteht wieder eine Gleichung. Und die beiden Gleichungen muss ich zum Schluss lösen.

Hab ich das so richtig aufgefasst, oder fehlt noch eine Sache, die man noch beachten muss?

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Die Frage fällt etwas aus dem Rahmen.

Üblicherweise wir die Stetigkeit / Differenzierbarkeit bei geteilten
Funktionen im " Zusammenfügpunkt " überprüft.

Bei dieser Aufgabe soll aber ermittelt werden für welche
a und b die  Stetigkeit / Differenzierbarkeit gegeben ist.

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mhh ich meinte für genau so einen Aufgabentyp, weil ich mir ziemlich sicher bin, dass so ein Aufgabentyp in der Klausur vorkommt.

Answer 2

um die Stetigkeit zu zeigen, musst du einmal für den linksseitigen und einmal für den rechtsseitigen Grenzwert die -2 einsetzen.

Bei der Differenzierbarkeit musst du analog vorgehen, nur eben mit den Ableitungen der Funktion.

Du erhältst dann insgesamt vier Gleichungen. Zwei davon sind vom Parameter unabhängig, die anderen zwei enthalten zwei Parameter.

Dafür kannst du dann ein beliebiges Lösungsverfahren anwenden.

Bei deinen Angaben weis man jetzt nicht wie sich die Teilfunktionen auf die Nahtstelle beziehen, also welcher Teil ist ≤-1 und welcher >-1 ist. Deshalb kann ich dir jetzt keine Lösung aufzeigen.

LG

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Oh Entschuldigung, stimmt das hab ich vergessen. Also:

f a,b ( x) = 1/5* x³ + x² - 4/5* x -4   für x ≤-1

                     ax² + bx^{2                         für x} >-1 

und die zweite:

f a,b (x) =  -1/8 x³ -3/4 x² +4      für x ≤-2

                  - 1/8 x² +ax +b         für x >-2

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Bleiben wir mal bei der ersten Aufgabe:

f a,b ( x) = 1/5* x³ + x² - 4/5* x -4   für x ≤-1

                     ax² + bx²                         für x>-1

Prüfen wir zuerst die Stetigkeit, also das die Funktion zunächst keine Sprungstelle hat.

Linksseitiger Grenzwert:

f a,b (-1)=-2,4     

Rechtsseitiger Grenzwert:

f a,b (-1) = a+b

Was muss also für a+b gelten, damit die Funktion stetig ist?

Richtig, a+b=-2,4   Ansonsten wäre ja der Rechtsseitige ≠ dem linksseitigem Grenzwert!

Nun müssen wir auch noch die Differenzierbarkeit zeigen, also das die Funktion auch keine Knickstelle hat. Dazu müsse wir beide Teilfunktionen ableiten.

f a,b (x) = 3/5 x² +2x -4/5   für x≤-1

                2ax+2bx             für x>-1

Linksseitiger Grenzwert:

f a,b (-1) = -2,2

Rechtsseitiger Grenzwert:

f a,b (-1) = -2a-2b

Was muss also wieder gelten, damit die Funktion differenzierbar ist?

-2a-2b = -2,2

Wir haben jetzt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

I.  a+b=-2,4

II. -2a-2b=-2,2

Das kannst du jetzt noch auflösen und damit bist du dann fertig!

LG

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Kannst Du mir noch bitte sagen wie Du darauf kommst?

Linksseitiger Grenzwert:

f a,b (-1)=-2,4     

Rechtsseitiger Grenzwert:

f a,b (-1) = a+b

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Stelle dir die Funktion in einem Koordinatensystem vor. Also x∈ℝ

Für x≤-1 ist (1/5* x³ + x² - 4/5* x -4 ) dieser Teil der Funktion definiert.

Für x>-1 ist (ax²+bx²) definiert.

Linksseitiger Grenzwert:

Welche Funktion liegt denn mehr links im Koordinatensystem? Für die wo x≤-1 gilt. (Stell dir das mal gedanklich vor).

Dann habe ich einfach die -1 in beide Teile eingesetzt. A

Alright?

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Also so wie ich oben schrieb nur das ich es im Bruch hatte -12/5

... Aber unten beim linksseitigen Grenzwert

f a,b (x) = 3/5 x² +2x -4/5   für x≤-1

                2ax+2bx             für x>-1

setz man ja wieder -1 ein oder?

Da komm ich aber irgendwie nicht auf 2,2 sondern auf 7,4. Was mach ich falsch?

Answer 3

f a,b ( x) = 1/5* x³ + x² - 4/5* x -4

                     ax² + bx²

ist nur dann eine abschnittweise definierte Funktion, wenn hinten noch Bereiche angegeben sind, die nicht überlappen.

Z.B.

f a,b ( x) = 1/5* x³ + x² - 4/5* x -4,  für x≥-1

               =      ax² + bx²    , für x<-1

Dann kannst du in der Tat einfach mal x=-1 einsetzen und die beiden Funktionsterme gleichsetzen.

f a,b ( -1) = -1/5 + 1 + 4/5 -4,  für x≥-1

               =      a + b    , für x<-1

-1/5 + 1 + 4/5 -4  =      a + b 

3/5 - 3 = a+b

3/5 - 15/5 =

-12/5 = a+b        (I)

Das ist nun eine erste Gleichung, in der deine Unbekannten a und b drinn sind.

Rechne nun mal nach.

Mit der Ableitung bekommst du eine 2. Gleichung mit den Unbekannten a und b.

Zum Schluss ist dann das lineare Gleichungssystem zu lösen.