Im Folgenden bezeichne \(\| \cdot \|_\infty \) die Supremumsnorm (d.h. man setzt eine Funktion ein) und \(|\cdot |\) den ganz normalen reellen Betrag (d.h. dort setzt man eine Zahl ein).
Zunächst muss man bemerken, dass \(C([a,b])\) ein \(\mathbb{R}-\)Vektorraum ist, dessen Elemente (Vektoren) Funktionen sind. Die Abbildung \(f\) bildet also von einem Vektorraum in dessen Grundkörper ab, man spricht hier in diesem Fall von einem Funktional. Das ist im Prinzip eine Funktion, die als Argument eine andere Funktion aufnimmt und dann eine Zahl ausspuckt.
Die Definition der Stetigkeit in einem Punkt \(y\) sagt gerade:
Für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(x\in C([a,b])\) (d.h. \(x\) ist eine Funktion!) mit \(\|x-y\|_\infty < \delta \) gilt: \( |f(x)-f(y)| < \varepsilon .\)
Eingesetzt bedeutet es, dass unter der Annahme \(\|x-y\|_\infty < \delta \) gezeigt werden soll, dass
$$ |f(x)-f(y)| = \left|\int_a^b x^2(t) - y^2(t)\,dt\right| < \varepsilon.$$
Jetzt die dritte binomische Formel im Integranden nutzen und danach die "Dreiecksungleichung" für Integrale und dann ist man auch schon fast fertig mit dem Beweis der Stetigkeit.
