Geben Sie ein Bespiel einer endlichen Gruppe (G, *) mit Ord(x*y) ≠ Ord(x) * Ord(y)

Question

Aufgabe:

Geben Sie ein Beispiel einer endlichen Gruppe \( (G, *) \) und zweier Elemente \( x, y \in G \), so dass \( \operatorname{Ord}(x * y) \neq \operatorname{Ord}(x) \cdot \operatorname{Ord}(y) \) ist.

Answer 1

Aber ich denke wenn du mal über ein Beispiel nachdenkst, verstehst du vielleicht auch was dahinter steckt.

Ich geb dir mal eines, und wenn du dann noch Fragen hast, nur raus damit.

Als Gruppe G wählen wir mal (Z/6Z,+) und als Elemente die 2 mit 2+2+2=0 also Ord(2)=3 und die 4 mit 4+4+4=0 also auch Ord(4)=3. es ist aber Ord(2+4)=Ord(0)=1≠9

Comments

Gute Antwort nur was bedeutet genau das Z/6Z? Alles was durch 6 teilbar ist?

ALso beispielsweise 4+4+4 = 12 ist durch 6 teilbar.

2+2+2 = 6 ist durch 6 teilbar

 

Am ende schreibst du Ord(0) = 1 != 9

9 kommt von Ord(2) = 3 * 3 = Ord(4)

 

Aber warum ist dann Ord(0) = 1

weil 0 ja nicht durch 6 teilbar ist...

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Also Z/6Z ist die zyklische Gruppe mit 6 Elementen.

Also wenn du so willst alle Reste bei Division durch 6, das heißt 0,1,2,3,4,5 und beim rechnen addierst du ganz normal und ziehst dann vielfache von 6 ab.

das heißt

3+4=7→1

4+4=8→2

4+4+4=12→0

 

Am ende schreibst du Ord(0) = 1 ≠9

9 kommt von Ord(2) = 3 * 3 = Ord(4)

ja ich hätte vielleicht schreiben sollen

1=Ord(0)=Ord(2*3)≠Ord(2)*Ord(3)=3*3=9

Aber warum ist dann Ord(0) = 1

weil 0 ja nicht durch 6 teilbar ist...

Das stimmt so nicht. Bist du dir sicher dass du weißt was die Ordnung ist? Schau dir die Definition nochmal an! 5 ist auch nicht durch 6 teilbar, hat aber Ordnung 6.

Hier mal zur Übung:

 

Ord(0)=1

Ord(1)=6

Ord(2)=3

Ord(3)=2

Ord(4)=3

Ord(5)=6

 

 

 

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Das hat sehr geholfen!

Ja ich weiss was eine Ordnung ist, bzw. bin vor einer WOche das erste mal darauf gestoßen und muss jetzt damit rechnen. Da hat mich dein Beispiel relativ rausgehauen, weil ich versuht habe zu verstehen, wie das in dem Beispiel funktioniert.