Zeigen Sie mit Zwischenwertsatz, dass es einen Zeitraum von einer Stunde am Tag gibt, in dem das Modul 25 Wh produziert.

Question

Aufgabe - Zwischenwertsatz bei einem Solarmodul:

Der Ertrag eines Solarmoduls an einem Sommertag liegt bei 600 Wh. Das Modul liefert also eine durchschnittliche Leistung von \( 25 \mathrm{~W} \).

Zeigen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass es einen Zeitraum von einer Stunde am Tag gibt, in dem das Modul genau \( 25 \mathrm{Wh} \) produziert.

Hinweis: Sei \( f(t) \) die zum Zeitpunkt \( t \) erbrachte Energie. Betrachten Sie \( f(t+1)-f(t) \) für \( t \in[0,23] \)

Ansatz/Problem:

Es gilt für f(0)= 0 und für f(23) =600w die funktion ist monoton wachsend

Answer 1

Nach nochmaligem Durchdenken bin ich zu einer anderen
Auffassung gelangt.

Dies ist eine idealisierte Darstellung.
Um Mitternacht ist der Energiegewinn 0,  steigt dann im Laufe
des Tages an und geht dann wieder auf 0.

Die erste Ableitung  zeigt eigentlich das der Betrag von
25 Wh zweimal erreicht wird.

Comments

Ich denke nicht dass man davon ausgehen kann, dass die erste Ableitung stetig ist.

Extremfall: Es ist tiefschwarze Nacht und jemand knipst das Licht an und am Tagesende wieder aus. Ok das ist jetzt kein typischer Tagesverlauf. Aber ich denke man braucht nicht davon ausgehen das die Ableitung stetig ist. Es langt denke ich wenn die Energiefunktion stetig ist.

Weiterhin ist ja nicht nach der momentanen Änderungsrate gefragt. Das würde bei nicht stetigen Funktionen auch nicht gehen sondern das in einem Zeitintervall von einer Stunde irgendwann mal 25 Wh produziert worden sind.

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Die Frage hat anscheinend eine hohen Unterhaltungswert.

Der von dir verwendete Begriff " stetig " heißt ohne Lücken, Sprünge usw.
Ich denke davon können wir sowieso ausgehen.

Die Funktion beginnt bei ( 0  | 0 ) und endet bei ( 24 | 600 ).
Außerdem haben wir die Information das die Funktion monton
wachsend ist.

Einfachster Fall : eine Gerade
f ( x ) = 25 Watt * x bzw. 25 Watt * 24 h = 600 Wh

Die Solarzelle liefert konstant in jeder Stunde 25 Watt * 1 h = 25 Wh.

Es gibt 24 Zeiträume die die Frage erfüllen und nicht nur 1 Zeitraum.

Nachtrag :
Die Frageformulierung " im Durchschnitt 25 Watt " legt die Vermutung nahe
das die leistung mal mehr oder weniger ist.
Für einen Mathematiker ist aber
25 + 25 + 25 + 25 + 25

5 * 25 / 5  ergibt auch  eine durchschnittliche Leistung von 25

Answer 2

600Wh : 25W = 24h

es gilt für f(0)= 0 und für f(23) =600w die funktion ist monoton wachsend

Absolut realistisch, da die Sonne morgens aufgeht und bis in die tiefe Nacht immer heller wird, bis sie kurz vorm Sonnenaufgang erstmal ganz weg bleibt.

Comments

Fehlerhinweis
f ( t ) ist nicht die Leistungsfunktion sondern die Aufsummierung
der Leistung : ∫ Leistung dt.
Diese ist monoton wachsend.
Schlechtest möglicher Energiezuwachs = 0 Wh

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georgborn: Du liest:

Die zum Zeitpunkt t erbrachte Energie ...

als

Die bis zum Zeitpunkt t erbrachte Energie ...

nehme ich an.

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Meine Einschätzung des physikalischen Hintergrunds.

Leistung = Arbeit pro Zeit.
Leistung in Watt
Arbeit in Wh

Die im Tagesverlauf aufsummiert Leistung ergibt die Arbeit//Energie.

Der Wert  Energie pro Stunde liegt zwischen 0 und einer uns unbekannten
Größe. Im Mittel liegt sie bei 25 Watt mal 1 h .
Damit schneidet die Funktion einmal den Mittelwert.

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georgborn: EDIT: Deine Rechnung ist ok.

Du beziehst dich auf das Ausbleiben der Sonne?