Teilraum Erzeugendensystem Basis im C^3

Question

 Gegeben sei die folgende Teilmenge des \( \mathbb{C}^{3} \) :
$$ T_{1}=\left\{\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right] \in \mathrm{C}^{3} | x_{2}+2 x_{3}=0\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} $$
(a) Zeigen Sie, dass \( T_{1} \) ein Teilraum des \( \mathbb{C}^{3} \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l} {i} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} {0} \\ {-2} \\ {1} \end{array}\right]\right\} $$
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von \( T_{1} \) bildet. Ist \( \mathcal{B} \) eine Basis von
$$ T_{1} ? $$
(c) Bestimmen Sie die Dimension von \( T_{1} \)

Hey ich bräuchte ein bisschen Hilfe  bei diesen 2 Aufgaben bzw. kann mir jemand sagen ob ich das richtig gemacht

 habe. (a) habe ich mit den Teilraumkriterien bewiesen das T1 ein Teilraum. Bei (b) ist die Basis linear unabhängig

und ein Erzeugendessystem ( indem ich x2+2x3=0 nach x2 umgestellt habe und dann eine linear Kombination

erstell habe : a1*(1,0,0)+a2*(0,-2,1) jedoch jetzt die Frage ist 0,0,i auch eine Basis ? Weiß nicht wie ich in das

komplexe komme :S oder gibt es 0,0,1 und 0,0,1...hoffe mir kann an der stelle jemand helfen! Demnach hab ich

 bei (c) Dimension=2 raus da es nur 2 Basen. danke schon im voraus 

ich komme leider nicht weiter. Linear unabhängig ist die Menge A ja, jedoch komm ich nicht darauf wie ich beweisen soll, dass A ein Erzeugendensystem ist, aufgrund der Eigenschaft  x₂+2x₃=0  von T.

Answer 1

Aus:

x₂+2x₃=0

folgt

x₂=-2x₃

Das heißt unsere Menge ist somit:

(b,-2c,c)

Wobei b,c Element von C sind.

Jetzt müssen wir also zeigen, dass wir mit unseren gegebenen zwei Vektoren diese Menge per Linearkombination darstellen können.

Wir können direkt darauf schließen, dass wir die erste Komponente b mit dem Vektor (i,0,0) erzeugen müssen,da nur hier die erste Komponente ungleich 0 ist.

Wir müssen also zeigen,dass wir mit a*i alle Elemente aus C darstellen können. Das würde ich mach, indem ich sage:
Realteil per v*i * (i,0,0)  + Imaginärteil per w*(i,0,0) mit v,w Element R.

Jetzt müssen wir noch zeigen,dass wir die zweite Komponente -2c und die dritte c mit dem zweiten Vektor erzeugen können:

=> trivial s*(0,-2,1) mit s Element C.

Dann addieren wir beides(das rote) und haben die Menge als Linearkombination unserer Vektoren dargestellt.

Ich garantiere dir nicht,dass das alle 100%ig formal richtig ist.

Gruß,
Marvin

Answer 2

du denkst wohl ein bisschen zu kompliziert. Du hast eine linear unabhängiges EZS für T1 durch B gegeben. Somit ist B auch eine Basis für T1, da insbesondere keine lineare Hülle der einzelnen Vektoren aus B ein EZS für T1 darstellt.

Die Dimension ist korrekt.

Gruß

Comments

naja ich sollte ja quasi rechnerisch beweisen das b eine basis von t1 ist und komme quasi nur nicht auf das i welches bei mir nur als 1 rauskommt. keine Ahnung wie ich das beschreiben soll, aber dann wäre ja die basis eh korrekt. hab halt den ganzen tag gerechnet da ist man schon mal etwas neben der spur

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Meinst du sowas hier? \( x = (-xi)\cdot i \) Weiß nicht was genau du meinst :D.

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Hilft dir meine Antwort nicht?

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MDoch danke für euren schnellen Antworten ! Hab mich gestern nur nicht mehr damit beschäftigen können

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Nur eine Frage hätte ich noch kommt das i hinterm Skalar in der linearkombination nicht in den imaginärteil oder irre ich mich da?

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Nein.  Das habe ich so hingeschrieben um besser zu zeigen dass ich mit V*i*i =v*-1 jede beliebige Reelle Zahl darstellen kann.  Genau genommen ist das i ein Teil des 'skalars'.  Wir sind ja schließlich im C. Da kann der Vorfaktor auch komplex sein.