Entscheide, ob folgende Aussagen über den Kegelschnitt richtig oder falsch sind.

Question

Aufgabe:

Seien \( A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) and \( f_{A}(x)=a x_{1}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+c x_{2}^{2}-1 \).

Entscheide, ob folgende Aussagen über den Kegelschnitt

\( K_{f_{A}}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: f_{A}(x)=0\right\} \)

richtig oder falsch sind (mit Begründung).

(i) Falls det \( A>0 \), dann ist \( K_{f_{A}} \) eine Ellipse.

(ii) Falls \( \operatorname{det} A<0 \), dann ist \( K_{f_{A}} \) eine Hyperbel mit zwei Asten.

Ansatz/Problem:

Könnte mir jemand erklären, was genau das heisst, wenn die Determinante positiv/negativ ist und wie sich das auf die Figur auswirkt?

Answer 1

Hi, den Ausdruck
$$ ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2-1 $$
kann man mit der Matrix \( A = \begin{pmatrix}  a & b \\ b & c \end{pmatrix} \)
auch so schreiben
$$  (1) \quad x^tAx-1 $$ wobei \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix} \) ist.
Man kann die Matrix \( A \) diagonalisieren durch die Transformation \( T^tAT = D \) wobei \( T \) in den Spalten die Eigenvektoren der Matrix \( A \)  enthält und \( D \) eine Diagonalmatrix ist, mit den Eigenwerten von \( A \) auf der Diagonalen.
Man kann also \( A \) auchschreiben als \( A = TDT^t \)
Mit der Transformation \( z = T^tx \) geht (1) über in
$$ (2) \quad z^tDz-1 = \lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2-1  $$
Die Form des Kegelschnitts \( \lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2-1 = 0 \)
hängt von den Vorzeichen der Eigenwerte \( \lambda_{1,2} \) ab.
Da gilt \( det(A) = det(D) = \lambda_1 \lambda_2 \) ist die Form des Kegelschnitts durch das Vorzeichen von \( det(A) \) festgelegt.
Sind beide Eigenwerte \( > 0 \), also \( det(A) > 0 \) liegt eine Ellipse vor. Haben die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen, also \( det(A) < 0 \) liegt eine Hyperbel vor. Gilt \( det(A) > 0 \) aber die Eigenwerte sind beide \( < 0 \), ist die Lösungsmenge der Kegelschnittgleichung die leere Menge.

Comments

Vielen Dank für die Antwort, d.h. (i) ist falsch und (ii) richtig?

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Hi, ich denke (i) ist auch richtig, wenn man zulässt, das die Kegelspitze mit zum dem Kegelschnitt gehört. Dann ergibt ein Schnitt durch die Spitze keine Ellipse im eigentlichen Sinn, aber eine ausgeartete Ellipse. Da bin ich mir aber nicht sicher.